Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Обратные тригонометрические функции

Матемптические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям

{sin⁡xcos⁡xtgxctgx}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin x} \\ {\cos x} \\ {{\text{tg}}x} \\ {{\text{ctg}}x} \end{array}} \right\}на интервале{[−π2,π2][0,π](−π2,π2)(0,π)}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]} \\ {\left[ {0,\pi } \right]} \\ {\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)} \\ {\left( {0,\pi } \right)} \end{array}} \right\}

называются обратными тригонометрическими функциями.
К обратным тригонометрическим функциям обычно относят:

аркус синус
аркус косинус
аркус тангенс
аркус котангес		и обозначаются {arcsin⁡xarccos⁡xarctg xarcctg x}{\text{ }}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{\text{arc}}\sin x} \\ {\arccos x} \\ {{\text{arctg }}x} \\ {{\text{arcctg }}x} \end{array}} \right\}

Свойства обратных функций

 arcsin⁡x{\text{arc}}\sin x arccos⁡x\arccos x arctg x{\text{arctg }}x arcctg x{\text{arcctg }}x
 Область определения [−1,1]\left[ { - 1,1} \right] [−1,1]\left[ { - 1,1} \right] R\mathbb{R} R\mathbb{R}
 Область значений [−π2,π2]\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right] [0,π]\left[ {0,\pi } \right] (−π2,π2)\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right) [0,π]\left[ {0,\pi } \right]
 Монотонность растёт убывает растёт убывает
 Нули 00 11 00 —
 Точки перегиба. 00 00 00 00
 Асимтоты: x→∞x \to \infty — — π2\frac{\pi }{2} 00
 Асимтоты: x→−∞x \to - \infty — — −π2- \frac{\pi }{2} π\pi

thx=shxchxthx = \frac{{shx}}{{chx}}, cthx=chxshx{\text{c}}thx = \frac{{chx}}{{shx}}, schx=thxshxschx = \frac{{thx}}{{shx}},  cshx=cthxchx{\text{ }}cshx = \frac{{cthx}}{{chx}},

ch2x−sh2x=1{\text{c}}{{\text{h}}^2}x - {\text{s}}{{\text{h}}^2}x = 1, sch2x+th2x=1{\text{sc}}{{\text{h}}^2}x + {\text{t}}{{\text{h}}^2}x = 1,

cth2x−csch2x=1{\text{ct}}{{\text{h}}^2}x - {\text{csc}}{{\text{h}}^2}x = 1,  thxcthx=1{\text{ th}}xc{\text{th}}x = 1.

Тригонометрические функции не являются взаимно однозначными, поэтому обратные к ним определяют на промежутках, где они строго возрастают или убывают: sin⁡x\sin x на [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], cos⁡x\cos x на [0,π][0, \pi], tg⁡x\operatorname{tg} x на (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) и ctg⁡x\operatorname{ctg} x на (0,π)(0, \pi). Поэтому область определения arcsin⁡x\arcsin x и arccos⁡x\arccos x — отрезок [−1,1][-1, 1], а arctg⁡x\operatorname{arctg} x и arcctg⁡x\operatorname{arcctg} x — вся прямая R\mathbb{R}. Функции arcsin⁡x\arcsin x и arctg⁡x\operatorname{arctg} x возрастают, arccos⁡x\arccos x и arcctg⁡x\operatorname{arcctg} x убывают, а arctg⁡x\operatorname{arctg} x имеет горизонтальные асимптоты y=−π2y = -\frac{\pi}{2} и y=π2y = \frac{\pi}{2}.

Значение arcsin⁡x\arcsin x — угол из [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], синус которого равен xx: arcsin⁡12=π6\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}. Верно arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. Внимание: arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x только для xx из этого отрезка, поэтому arcsin⁡(sin⁡3π4)=π4\arcsin\left(\sin \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}.

−112−1,5−0,50,51,52,50xysin xarcsin xarccos xPQR
0,9
arcsin u
1,1198
arcsin u в градусах
64,2°
arccos u
0,451
arcsin u + arccos u
1,5708
Точки PP и QQ симметричны относительно прямой y=xy = x: PP лежит на графике arcsin⁡x\arcsin x, а QQ — на графике синуса, суженного на [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Заметьте, что сумма arcsin⁡u+arccos⁡u\arcsin u + \arccos u всегда равна π2≈1,5708\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708.

Когда известны длины, а нужен угол, его находят с помощью обратной тригонометрической функции: так определяют уклон пандуса или крыши, угол, под которым стоит лестница, и направление движения в навигаторе GPS.

Лестница у стены

Лестница длиной 5 м приставлена к стене дома, а её основание находится в 1,5 м от стены. Под каким углом к земле стоит лестница? Для безопасной работы рекомендуется угол около 75∘75^\circ: на каком расстоянии от стены тогда должно быть основание?

Решение

  1. Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник. Лестница — гипотенуза длиной 5 м, а расстояние до стены — катет 1,5 м, прилежащий к углу α\alpha у земли.
  2. cos⁡α=1,55=0,3\cos \alpha = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3, а угол из [0,π][0, \pi] с таким косинусом равен α=arccos⁡0,3\alpha = \arccos 0{,}3.
  3. Калькулятор даёт arccos⁡0,3≈1,2661\arccos 0{,}3 \approx 1{,}2661, что в градусах составляет α≈72,5∘\alpha \approx 72{,}5^\circ.
  4. При α=75∘\alpha = 75^\circ основание должно находиться в 5⋅cos⁡75∘≈1,295 \cdot \cos 75^\circ \approx 1{,}29 м от стены.

Ответ: Лестница стоит под углом около 72,5° к земле, а для угла 75° её основание нужно придвинуть так, чтобы до стены оставалось около 1,3 м.

Задача для тренировки

Пандус для колясок у входа в школу поднимается на 0,5 м на горизонтальной длине 6 м. С помощью функции arctg⁡\operatorname{arctg} найдите угол наклона пандуса.

Показать решение

tg⁡α=0,56≈0,0833\operatorname{tg} \alpha = \frac{0{,}5}{6} \approx 0{,}0833, поэтому α=arctg⁡0,0833≈0,0831\alpha = \operatorname{arctg} 0{,}0833 \approx 0{,}0831, то есть около 4,76∘4{,}76^\circ.