Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Показательная и логарифмическая функции

Показательной функцией называется функция вида: y=f(x)=ax, a>0, a≠0y = f\left( x \right) = {a^x},{\text{ }}a > 0,{\text{ }}a \ne 0

Свойство показательной функции

f(x1)⋅f(x2)=f(x1+x2).f\left( {{x_1}} \right) \cdot f\left( {{x_2}} \right) = f\left( {{x_1} + {x_2}} \right).

Функция, обратная к показательной функции y=f(x)=ax,  a≠0y = f\left( x \right) = {a^x},{\text{ }}{\text{ }}a \ne 0 называется логарифмической функцией по основанию α\alpha и обозначается y=log⁡αxy = {\log _\alpha }x.

Если вместо α\alpha возьмём число ee,

e=lim⁡n→∞(1+1n)n.e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}.

получим экспоненциальную функцию y=exy = {e^x}.

axa>1\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a^x}} \\ {a > 1} \end{array}axa∈(0,1)\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a^x}} \\ {a \in \left( {0,1} \right)} \end{array}log⁡axa>1\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\log }_a}x} \\ {a > 1} \end{array}log⁡axa∈(0,1)\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{{\log }_a}x} \\ {a \in \left( {0,1} \right)} \end{array}
Область определения функции R\mathbb{R} R\mathbb{R} (0,∞)\left( {0,\infty } \right) (0,∞)\left( {0,\infty } \right)
Область значения функции (0,∞)\left( {0,\infty } \right) (0,∞)\left( {0,\infty } \right) R\mathbb{R} R\mathbb{R}
 Монотонность растётубывает растёт убывает
 Нули функции — — 11 11
Точки пересечения с осью OyOy 11 11 — —
 lim⁡x→∞f(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) ∞\infty 00 ∞\infty −∞-\infty
 lim⁡x→−∞f(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) 00 ∞\infty — —

Показательная функция y=axy = a^x, где a>0a > 0 и a≠1a \ne 1, определена при всех x∈Rx \in \mathbb{R}, а её значения всегда положительны. График проходит через точку (0,1)(0, 1) и имеет асимптоту y=0y = 0. При a>1a > 1 функция возрастает, а при 0<a<10 < a < 1 убывает. Верно ax1⋅ax2=ax1+x2a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}.

Логарифмическая функция y=log⁡axy = \log_a x — обратная к ней: она определена только при x>0x > 0, её нуль x=1x = 1, а асимптота x=0x = 0. Графики функций axa^x и log⁡ax\log_a x симметричны относительно прямой y=xy = x. Особенно важное основание — число e≈2,718e \approx 2{,}718, с ним получается экспонента y=exy = e^x. Самая частая ошибка — логарифм нуля или отрицательного числа, которого не существует.

−2−11234−2−112340xyaˣlogₐxPQ
2
1
aᵗ
2
logₐ(aᵗ)
1
Точка QQ — зеркальное отражение точки PP относительно прямой y=xy = x, поэтому она всегда лежит на графике логарифма: log⁡a(at)=t\log_a(a^t) = t. При a>1a > 1 обе функции возрастают, при 0<a<10 < a < 1 обе убывают, а при a=1a = 1 логарифм не существует.

Показательной функцией описывают рост вклада со сложными процентами, распад радиоактивных веществ и уменьшение количества лекарства в крови, а с помощью логарифма из таких формул находят время.

Лекарство в организме

Пациент принимает 400 мг лекарства. За каждые 6 часов организм выводит половину лекарства, которое в нём находится. Сколько лекарства останется через 18 часов и через сколько часов в организме останется 25 мг?

Решение

  1. Каждые 6 часов количество уменьшается вдвое, поэтому m(t)=400⋅(12)t6m(t) = 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}}. Основание 12\frac{1}{2} меньше 1, значит, функция убывает.
  2. Через 18 часов: m(18)=400⋅(12)3=50m(18) = 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 50 мг.
  3. Для 25 мг решаем уравнение (12)t6=25400=116\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{6}} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}.
  4. Логарифмируя, получаем t6=log⁡12116=4\frac{t}{6} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4, поэтому t=24t = 24 ч.

Ответ: Через 18 часов в организме остаётся 50 мг лекарства, а до 25 мг количество снижается через 24 часа.

Задача для тренировки

Новый автомобиль стоит 1 500 000 динаров, а его стоимость каждый год снижается на 15%. Сколько он стоит через 3 года и через сколько полных лет его стоимость впервые станет меньше половины начальной цены?

Показать решение

V(t)=1 500 000⋅0,85tV(t) = 1\,500\,000 \cdot 0{,}85^t, поэтому V(3)≈921 188V(3) \approx 921\,188 динаров. Из 0,85t<0,50{,}85^t < 0{,}5 следует t>log⁡0,850,5≈4,27t > \log_{0{,}85} 0{,}5 \approx 4{,}27, то есть через 5 лет.