Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

  1. Перестановка уравнений местами.
  2. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
  3. Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений — это перестановка уравнений местами, прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, и удаление уравнений, которые обратились в тождество 0=00 = 0; к ним относят и умножение уравнения на число, отличное от нуля. Каждое из них даёт равносильную систему с теми же решениями.

На этом основан метод Гаусса: преобразованиями неизвестные по очереди исключают, пока система не примет ступенчатый вид, а затем её решают от последнего уравнения к первому. Те же преобразования над строками матрицы не меняют её ранг. Остерегайтесь двух ошибок: умножение на нуль уничтожает уравнение, а при прибавлении умножают всё уравнение — и левую, и правую часть.

12345123450xyx + y = 52x − y = 1(2, 3)
−1
Коэффициент при x
1
Коэффициент при y
−2
Правая часть
−4
Зелёная прямая изображает уравнение (2+k)x+(k−1)y=1+5k(2 + k)x + (k - 1)y = 1 + 5k, которое получается, если ко второму уравнению прибавить первое, умноженное на kk. Прямая поворачивается, но всегда проходит через точку (2,3)(2, 3): решение системы не меняется. При k=1k = 1 исчезает yy, а при k=−2k = -2 исчезает xx.

Программы, которые рассчитывают усилия в фермах мостов или токи в электрических сетях, решают системы с сотнями неизвестных именно методом Гаусса, то есть цепочкой элементарных преобразований.

Чеки из кафе

Йована трижды сидела с друзьями в одном и том же кафе в Нише и сохранила чеки: кофе, сок и круассан стоили 450 дин.; два кофе, сок и три круассана — 840 дин.; кофе, два сока и два круассана — 750 дин. Сколько стоит кофе, сколько сок и сколько круассан?

Решение

  1. Обозначим цены кофе, сока и круассана через xx, yy и zz: x+y+z=450x + y + z = 450, 2x+y+3z=8402x + y + 3z = 840, x+2y+2z=750x + 2y + 2z = 750.
  2. Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на −2-2: −y+z=−60-y + z = -60.
  3. К третьему уравнению прибавим первое, умноженное на −1-1: y+z=300y + z = 300.
  4. К новому третьему уравнению прибавим новое второе: 2z=2402z = 240, поэтому z=120z = 120.
  5. Идём обратно: y=300−120=180y = 300 - 120 = 180 и x=450−180−120=150x = 450 - 180 - 120 = 150.

Ответ: Кофе стоит 150 дин., сок — 180 дин., а круассан — 120 дин.

Задача для тренировки

Решите систему x+y+z=6x + y + z = 6, 2x−y+z=32x - y + z = 3, x+2y−z=2x + 2y - z = 2 с помощью элементарных преобразований.

Показать решение

Ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на −2-2, а к третьему — первое, умноженное на −1-1: −3y−z=−9-3y - z = -9 и y−2z=−4y - 2z = -4. Ко второму прибавим третье, умноженное на 3: −7z=−21-7z = -21, поэтому z=3z = 3, y=2z−4=2y = 2z - 4 = 2 и x=6−y−z=1x = 6 - y - z = 1.