Ранг матрицы

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ , а $k$ — натуральное число, не превосходящее $m$ и $n$ . Минором $k$ -го порядка матрицы $A$ называется определитель матрицы $k$ -го порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных $k$ строк и $k$ столбцов матрицы $A$ .

В матрице $A$ размера $m \times n$ минор $r$ -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры $(r+1)$ -го порядка равны нулю или их вообще не существует.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю.

Минор $k$ -го порядка матрицы $A$ — это определитель квадратной матрицы из элементов, стоящих на пересечении $k$ строк и $k$ столбцов матрицы $A$ . Минор $r$ -го порядка называют базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка $r + 1$ равны нулю или не существуют. Ранг $\operatorname{rang} A$ — порядок базисного минора, то есть наибольший порядок ненулевого минора. Поэтому для матрицы размера $m \times n$ верно $\operatorname{rang} A \leq \min(m, n)$ , а ранг нулевой матрицы равен нулю.

Перебирать все миноры долго. Быстрее элементарными преобразованиями строк, которые не меняют ранг, привести матрицу к ступенчатому виду: ранг равен числу ненулевых строк. Ранг показывает, сколько строк действительно независимы. Система совместна, если матрица системы и расширенная матрица имеют одинаковый ранг. Внимание: один нулевой минор ещё ничего не доказывает.

D =

122133

D= 1·1·2 + 2·1·3 + 1·2·3− 1·1·3 − 1·1·3 − 2·2·2= 2 + 6 + 6 − 3 − 3 − 8= 0

Определитель D = 0.

Определитель: 0
Минор из первых двух строк и столбцов: −3
Ранг матрицы: 2

Третья строка — сумма первых двух, поэтому определитель равен нулю, а минор

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3

— нет: ранг равен 2. Измените любой элемент третьей строки: определитель перестанет быть нулём, ранг станет 3, и цены определялись бы однозначно. Сделайте вторую и третью строки кратными первой, и ранг упадёт до 1.

Ранг показывает, сколько данных действительно независимы: инженер с его помощью проверяет, дают ли измерения достаточно уравнений для всех неизвестных, а статистик находит столбцы таблицы, которые повторяют одну и ту же информацию.

Три чека из пекарни

Елена хочет узнать по чекам цены хлеба, рогалика и бурека. У неё три чека: хлеб, два рогалика и бурек — 330 дин.; два хлеба, рогалик и бурек — 340 дин.; три хлеба, три рогалика и два бурека — 670 дин. Найдите ранг матрицы системы и объясните, определяются ли этим цены.

Решение

Обозначим цены хлеба, рогалика и бурека через $x$ , $y$ , $z$ . Матрица системы $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ .
Из второй строки вычтем удвоенную первую, а из третьей — утроенную первую: обе станут равны $(0, -3, -1)$ .
Вычтя из третьей строки вторую, получаем нулевую строку. Остаются две ненулевые строки, поэтому $\operatorname{rang} A = 2$ . То же показывают миноры: $\det A = 0$ , а $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$ .
Свободные члены тоже согласованы: $330 + 340 = 670$ , потому что третий чек — сумма первых двух. Поэтому и расширенная матрица имеет ранг 2, и система совместна.
Ранг 2 меньше числа неизвестных, 3, поэтому система имеет бесконечно много решений.

Ответ: Ранг равен 2: третий чек не даёт новой информации, поэтому по этим трём чекам Елена не может однозначно определить цены.

Задача для тренировки

Найдите ранг матрицы $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Показать решение

Вторая строка — удвоенная первая, поэтому определитель равен нулю и ранг не равен 3. Минор из первой и третьей строк и первых двух столбцов $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ , поэтому ранг равен 2.

Ранг матрицы

Кратко

Измените третью строку

Пример из жизни

Три чека из пекарни

Решение

Задача для тренировки