Непрерывность функции

Функция $f$ , определённая на интервале $\left( {a,b} \right)$ — непрерывна в точке ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ , такое, что для любого $x \in D\left( f \right)$ справедливо:

$\left| {x - {x_0}} \right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon.$

Функция $f$ — непрерывна на интервале $\left( {a,b} \right) \subset D\left( f \right)$ , если она непрерывна в каждой точке ${x_0} \in \left( {a,b} \right)$ .

Функция $f$ — непрерывна в точке ${x_0} \in D\left( f \right)$ слева (справа), если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ , такое, что для любого $x \in D\left( f \right)$ справедливо:

$x - {x_0} < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon$ , $\left( {{x_0} - x < \delta \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \right| < \varepsilon } \right)$ .

Функция $f$ непрерывна в точке ${x_0}$ тогда и только тогда, когда непрерывна слева и справа в этой точке.

Функция $f$ — непрерывна на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ , если она непрерывна на интервале $\left( {a,b} \right)$ , непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$ .

Если функция $f$ не является непрерывной в точке ${x_0}$ , то говорят что $f$ имеет разрыв в этой точке.

Свойства непрерывных функций

Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.
Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.
Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
Если функция $y = g\left( t \right)$ непрерывна в точке ${t_0}$ , а функция $y = f\left( x \right)$ непрерывна в точке ${x_0} = g\left( {{t_0}} \right)$ , тогда сложная функция $y = f\left( {g\left( t \right)} \right)$ непрерывна в точке ${t_0}$ .
Многочлен степени $n$ непрерывен для любого ${x_0} \in \mathbb{R}$ .
Рациональная функция непрерывна во всех точках, где знаменатель не равен нулю.
Если функция непрерывна и положительна (отрицательна) в точке ${x_0}$ , тогда найдётся окрестность $U\left( {{x_0}} \right)$ точки ${x_0}$ такая что для любого
$x \in U\left( {{x_0}} \right) \cap D\left( f \right)$ справедливо $f\left( x \right) > 0$ $\left( {f\left( x \right) < 0} \right)$ .

ОСвойства непрерывных функций на отрезке

Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на том отрезке.
Для любой функции $f$ , непрерывной на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ справедливо
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right)$ и $M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right)$ .
Пусть $f$ функция, непрерывная на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ .
$m = \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right) < M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a,b} \right]} f\left( x \right).$
и пусть $\alpha \in \left( {m,M} \right)$ . Тогда существует точка ${x_0}$ из интервала $\left( {a,b} \right)$ , для которой $f\left( {{x_0}} \right) = \alpha$ , т.е. ${C_D}\left( f \right) = \left[ {m,M} \right]$ .
Если функция $f$ непрерывная на отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и $f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0$ (функция имеет различные знаки в точках $a$ и $b$ ), тогда найдётся точка $c \in \left( {a,b} \right)$ такая что
$f\left( c \right) = 0$ .

Связь между непрерывностью и предельными значениями функции

Функция $f$ определена в некоторой окрестности точки ${x_0}$ , непрерывна в тачке ${x_0}$ , тогда и только тогда, когда существует предел функции $f$ в этой точке ${x_0}$ , т.е.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$

Равномерно непрерывная функция

Функция $f$ определенная на множестве $A \subset D\left( f \right)$ называется равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0$ , такое что для любого ${x_1},{x_2} \in A$ справедливо

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < \delta \Rightarrow \left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$ .

Если функция $f$ равномерно непрерывна на множестве $A$ , тогда она и непрерывна на $A$ .

Если $A$ непрерывный интервал, справедливо и обратное:
Любая функция непрерывная на $\left[ {a,b} \right]$ равномерно непрерывная функция на $\left[ {a,b} \right]$ .

Функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ , если $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ : функция там определена, предел существует и равен значению функции. На интервале она непрерывна, если непрерывна в каждой его точке, а на отрезке $[a, b]$ — если ещё непрерывна справа в $a$ и слева в $b$ . Многочлены непрерывны везде, рациональные функции — везде, где знаменатель не равен нулю, а сумма, произведение, частное и композиция непрерывных функций непрерывны.

Функция, непрерывная на $[a, b]$ , достигает наименьшего и наибольшего значений и принимает каждое значение между ними. Если к тому же $f(a) \cdot f(b) < 0$ , найдётся $c \in (a, b)$ , для которого $f(c) = 0$ . У кусочно заданных функций проверяйте левый и правый пределы в точке стыка.

Левый конец a2 см

Правый конец b3 см

V(a): 832 см³
V(b): 1008 см³
V в середине отрезка: 937,5 см³

Когда одно из значений

V(a)

V(b)

меньше 1000, а другое больше, непрерывная кривая обязательно пересекает прямую

V = 1000

между

a

b

. Передвиньте один конец в середину отрезка и повторите: это деление пополам из примера.

Программы инженерных расчётов решают уравнения методом деления отрезка пополам: если непрерывная функция на концах отрезка имеет разные знаки, корень заведомо лежит между ними, и отрезок делят пополам, пока он не станет достаточно маленьким.

Коробка на один литр

Из углов картонного листа $30 \times 20$ см вырезают квадраты со стороной $x$ см, а остаток сгибают в коробку без крышки объёмом $V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x)$ см³. При $x = 5$ объём ровно 1000 см³, то есть 1 л. Покажите, что существует и меньший вырез, с $x$ между 2 и 3, который даёт тот же объём, и найдите его с точностью до четверти сантиметра.

Решение

$V(x)$ — многочлен, поэтому функции $V$ и $g(x) = V(x) - 1000$ непрерывны на $[2, 3]$ .
$g(2) = 2 \cdot 26 \cdot 16 - 1000 = -168 < 0$ , а $g(3) = 3 \cdot 24 \cdot 14 - 1000 = 8 > 0$ .
Так как $g(2) \cdot g(3) < 0$ , существует $c \in (2, 3)$ , для которого $g(c) = 0$ , то есть $V(c) = 1000$ .
Делим отрезок пополам: $V(2{,}5) = 937{,}5 < 1000$ , поэтому $c \in (2{,}5;\ 3)$ .
Ещё раз: $V(2{,}75) \approx 976{,}9 < 1000$ , поэтому $c \in (2{,}75;\ 3)$ — интервал длиной $0{,}25$ .

Ответ: Меньший вырез существует: сторона вырезанного квадрата лежит между 2,75 см и 3 см (точно $10 - 5\sqrt{2} \approx 2{,}93$ см).

Задача для тренировки

Покажите, что уравнение $x^3 + x - 3 = 0$ имеет решение на интервале $(1, 2)$ , а затем одним делением пополам определите, в какой половине этого интервала оно находится.

Показать решение

$f(x) = x^3 + x - 3$ — многочлен, а $f(1) = -1 < 0$ и $f(2) = 7 > 0$ , поэтому решение на $(1, 2)$ существует. Так как $f(1{,}5) = 1{,}875 > 0$ , решение лежит на $(1;\ 1{,}5)$ .