Асимптоты

Вертикальные асимптоты

График функции $y = f(x)$ при аргументе котрый стремится к точке $x \to a$ имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ .

Кроме этого точка $x = a$ является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

$x = a$ .

Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

$y = ax + b$

где $a,b$ — пределы, которые вычисляются по правилу

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}$

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) - ax).$

Если оба пределы существуют и конечны, то функция имеет наклонную асимптоту, иначе — нет.

Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности ( $x \to + \infty$ ) и минус бесконечности ( $x \to - \infty$ ).

Асимптота — прямая, к которой график функции неограниченно приближается. Прямая $x = a$ — вертикальная асимптота, если хотя бы один из пределов $\lim_{x \to a - 0} f(x)$ и $\lim_{x \to a + 0} f(x)$ равен $+\infty$ или $-\infty$ ; ищите её в нулях знаменателя и на концах области определения. Прямая $y = b$ — горизонтальная асимптота, если $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ .

Наклонная асимптота $y = kx + b$ имеет $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$ ; при $k = 0$ это горизонтальная асимптота. Случаи $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ рассматривайте отдельно. Внимание: нуль знаменателя, который одновременно является нулём числителя, как у $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ , не обязательно даёт асимптоту, а график может пересекать горизонтальную или наклонную асимптоту.

a (вертикальная асимптота)1

k (угловой коэффициент)0,5

b (свободный член)1

f(1000) / 1000: 0,501
f(1000) − k · 1000: 1,002

График функции

f(x) = kx + b + \frac{2}{x - a}

имеет вертикальную асимптоту

x = a

и наклонную

y = kx + b

, которая при

k = 0

горизонтальна. Числа под графиком показывают, что при большом

x

(здесь

x = 1000

) частное

\frac{f(x)}{x}

близко к

k

, а разность

f(x) - kx

близка к

b

Средняя цена одного изделия в типографии или на заводе имеет горизонтальную асимптоту — затраты на изготовление одного изделия, а скорость парашютиста приближается к предельной скорости, которая служит горизонтальной асимптотой графика скорости.

Цена листовки в типографии

Типография в Крагуеваце берёт 3000 дин. за подготовку машины, а каждая отпечатанная листовка стоит ещё 5 дин. Средняя цена одной листовки при тираже $x$ экземпляров равна $p(x) = \frac{5x + 3000}{x}$ . Найдите асимптоты функции $p$ при $x > 0$ , объясните, что они означают, и вычислите, начиная с какого тиража средняя цена меньше 6 дин.

Решение

Функция не определена при $x = 0$ , а $\lim_{x \to 0 + 0} \frac{5x + 3000}{x} = +\infty$ , поэтому $x = 0$ — вертикальная асимптота: при малом тираже одна листовка очень дорогая.
Разделим числитель на $x$ : $p(x) = 5 + \frac{3000}{x}$ , поэтому $\lim_{x \to +\infty} p(x) = 5$ , и прямая $y = 5$ — горизонтальная асимптота.
Наклонной асимптоты при $x \to +\infty$ нет, так как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{p(x)}{x} = 0$ .
Средняя цена стремится к 5 дин., но всегда немного больше, потому что затраты на подготовку делятся на всё большее число листовок.
Из $5 + \frac{3000}{x} < 6$ следует $\frac{3000}{x} < 1$ , то есть $x > 3000$ .

Ответ: Асимптоты — $x = 0$ и $y = 5$ , а средняя цена меньше 6 дин., когда печатают больше 3000 листовок.

Задача для тренировки

Автобус для экскурсии стоит 48 000 дин., а входные билеты — 1500 дин. на ученика, поэтому цена на одного ученика $c(x) = 1500 + \frac{48\,000}{x}$ , где $x$ — число учеников. Найдите асимптоты функции $c$ при $x > 0$ и наименьшее число учеников, при котором цена меньше 3500 дин.

Показать решение

$\lim_{x \to 0 + 0} c(x) = +\infty$ , поэтому $x = 0$ — вертикальная асимптота, а $\lim_{x \to +\infty} c(x) = 1500$ , поэтому $y = 1500$ — горизонтальная. Из $\frac{48\,000}{x} < 2000$ следует $x > 24$ : нужно не меньше 25 учеников.

Асимптоты

Вертикальные асимптоты

Наклонные асимптоты

Кратко

Двигайте асимптоты

Пример из жизни

Цена листовки в типографии

Решение

Задача для тренировки