Гранична вредност функција

Нека је функција $f$ дефинисана у некој околини тачке ${x_0}$, сем можда у самој тачки ${x_0}$. Каже се да функција $f$ има у тачки ${x_0}$ граничну вредност $L$, што се означава са 

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,$$

ако за произвољно $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$, такво да важи импликација 

$$|x - {x_0}| < \delta \Rightarrow |f\left( x \right) - L| < \varepsilon.$$

Значи, функција $f$ има у тачки ${x_0}$ граничну вредност $L$, ако за сваку $\varepsilon$-околину тачке $L$ постоји $\delta$-околина тачке ${x_0}$, таква да $f$ пресликава све тачке $\delta$-околине, сем можда тачке ${x_0}$, у $\varepsilon$-околину тачке $L$.

Нека функција $f$ дефинисана у некој околини тачке ${x_0}$, сем можда у самој тачки ${x_0}$. Функција $f$ има у тачки ${x_0}$ граничну вредност $L$, ако и само ако за сваки низ $\left\{ {{x_n}} \right\}$, такав да је

$${x_n} \in D\left( f \right),\quad {x_n} \ne {x_{0}},\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x_n} = {x_{0}},$$

важи

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L.$$

Кошијев критеријум

Нека је функција $f$ дефинисана у некој околини тачке ${x_0}$, сем можда у самој тачки ${x_0}$. Функција $f$ има у тачки $x_0$ граничну вредност ако и само ако за произвољно $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0$, такво да за све ${x_1}$, ${x_2}$ за које је

$\left| {{x_1} - {x_0}} \right| < \delta$   и   $\left| {{x_2} - {x_0}} \right| < \delta$,

важи

$\left| {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right| < \varepsilon$.

Десна и лева гранична вредност

Функција $f$ има у тачки ${x_0}$ десну (леву) граничну вредност $L$ , што се означава са

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = L, \quad \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f\left( x \right) = L} \right)$,

ако за прoизвољно $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right) > 0$, такво да за свако $x$ из интервала $\left( {{x_0},{x_0} + \delta } \right)\left( {\left( {{x_0} - \delta ,{x_0}} \right)} \right)$ важи

$|f\left( x \right) - L| < \varepsilon$.

Функција $f$ има у тачки ${x_0}$ граничну вредност ако и само ако у тој тачки има и десну и леву граничну вредност и ако су оне једнаке.

Гранична вредност за $x \to \pm \infty$

Нека је област дефинисаности (домен) функције $f$ није ограничена одозго (одоздо). Тада функција $f$ има за $x \to + \infty$ $(x \to - \infty )$ граничну вредност $L$ , што се означава са

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$, ${\text{ }}\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L} \right),$

ако за призвољно $\varepsilon > 0$ постоји тачка ${x_1}$ таква да за све $x \geqslant {x_1}\left( {x \leqslant {x_1}} \right)$ важи

$|f\left( x \right) - L| < \varepsilon$.

Преглед граничних вредности функције

1. Гранична вредност у тачки ${x_0}$:
   
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L.$$
   
   За свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < |x - {x_0}| < \delta$, важи $|f\left( x \right) - L| < \varepsilon$.\\
2. Функција $f$ постаје бесконачна у тачки ${x_0}$
   a) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty.$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < |x - {x_0}| < \delta$, важи $f\left( x \right) > M$.
   б) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = - \infty.$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < |x - {x_0}| < \delta$, важи $f\left( x \right) < M$.
   в) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \infty .$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < |x - {x_0}| < \delta$, важи $|f\left( x \right)| < M$.
3. Гранична вредност функције $f$ за $x \to \pm \infty$:
   a)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L.$$
   За свако $\varepsilon > 0$ постоји ${x_1}$, такво да за све $x \geqslant {x_1}$, важи $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$.
   б) $$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L.$$
   За свако $\varepsilon > 0$ постоји ${x_1}$, такво да за све $x \leqslant {x_1}$, важи $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$.
4. Функција $f$ постаје бесконачна када $x \to \pm \infty$:
   a)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty.$$
   За свако $M$ постоји ${x_0}\left( M \right)$, такво да за све $x \geqslant {x_0}$, важи $f\left( x \right) > M$.
   б) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty.$$
   За свако $M$ постоји ${x_0}\left( M \right)$, такво да за све $x \leqslant {x_0}$, важи $f\left( x \right) > M$.
   в)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty.$$
   За свако $M$ постоји ${x_0}\left( M \right)$, такво да за све $x \geqslant {x_0}$, важи $f\left( x \right) < M$.
   г) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty.$$
   За свако $M$ постоји ${x_0}\left( M \right)$, такво да за све $x \leqslant {x_0}$, важи $f\left( x \right) < M$.
5. Десна и лева гранична вредност функције $f$:
   a)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = L.$$
   За свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$.
   б)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f\left( x \right) = L.$$
   За свако $\varepsilon > 0$ постоји $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$.
6. Десна и лева гранична вредност када функција $f$ постаје бесконачна у тачки ${x_0}$:
   a)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = + \infty.$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $f\left( x \right) > M$.
   б)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f\left( x \right) = + \infty .$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $f\left( x \right) > M$.
   в) 
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} f\left( x \right) = - \infty.$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $f\left( x \right) < M$.
   г)
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} f\left( x \right) = - \infty.$$
   За свако $M$ постоји $\delta = \delta \left( M \right)$, такво да за све $x$, за које је $0 < x - {x_0} < \delta$, важи $f\left( x \right) < M$.

Основне теореме о граничним вредностима

Ако за један од следећих пет случајева 
$$x \to {x_0}, \quad x \to {x_0} \pm 0, \quad x \to {x_0} \pm 0,$$

пoстоји 

$$\lim f\left( x \right) = a \quad \text{ и} \quad \lim g\left( x \right) = b,$$

онда важи 

1. $\lim \left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = a \pm b$,
2. $\lim \left( {C \cdot f\left( x \right)} \right) = Ca, \quad C \in \mathbb{R}$,
3. $\lim \left( {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right) = ab$ ,
4. $\lim \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{a}{b}$, ако је $b \ne 0$,
5. Ако је $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = a$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = b$, тада је
   
   $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( {f\left( x \right)} \right) = b.$$

Неке важније граничне вредности

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e,$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{c^x} - 1}}{x} = \ln c, \quad c > 0,c \ne 1,$
3. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$,
4. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$,
5. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {x^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {e^{x\ln x}} = 1$,
6. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{tg}}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{sh}}x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{\text{th}}x}}{x} = 1$,
7. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \omega x}}{x} = \omega , \quad \omega \in \mathbb{R}$,
8. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + 0} {x^a}\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^{ - a}}\ln x = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^a}{e^{ - x}} = 0, \quad a > 0$.