Тригонометријске функције
Дефиниције тригонометријских функција оштрог угла
Нека је троугао $ABC$ правоугли, са правим углом код темена $C$.
Означимо са $a$ и $b$ редом дужине катета $BC$ и $CA$, а са $c$ дужину хипотенузе $AB$ троугла $ABC$. Нека је $\alpha=\measuredangle CAB$ и $\beta=\measuredangle CBA$. Тада је:
-
Синус: количник наспрмне стране и хипотенузе,$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \sin \beta = \frac{b}{c}$$
-
Косинус: количник налегле катете и хипотенузе,$$\cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \cos \beta = \frac{a}{c}$$
-
Тангенс: количник наспрамне и налегле катете,$$tg \alpha = \frac{a}{b} \quad tg \beta = \frac{b}{a}$$
-
Котангенс: количник налегле и наспрамне катете,$$ctg \alpha = \frac{b}{a} \quad ctg \beta = \frac{a}{b}$$
-
Секанс: количник хипотенузе и налегле катете,$$\sec \alpha = \frac{c}{b} \quad \sec \beta = \frac{c}{a}$$
- Косеканс: количник хипотенузе и наспрамне катете$$cosec\alpha = \frac{c}{a} \quad cosec \beta = \frac{c}{b}$$
Тригонометријска кружница
Тригонометријска кружница $k$ је кружница са центром у координатном почетку, $O$ полупречника $1$.
Нека је $\varphi$ произвољан угао посматран у смеру супротном смеру кретања казаљке на сату, почевши од позитивног дела $Ox$-осе.
Тачка $M\left( {x,y} \right)$ је тачка у којој други крак угла сече кружницу $k$.
Синус неког угла у правоуглом троуглу је однос наспрамне катете и хипотенузе, па је $\sin \varphi=\frac{b}{1}=b$. Видимо да $\sin \varphi$ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке $М$ на $y$-осу.
Косинус неког угла представља однос налегле катете и хипотенузе у правоуглом троуглу, па је $\cos \varphi=\frac{a}{1}=a$. Видимо да $\cos \varphi$ можемо очитати спуштајући нормалу из тачке $М$ на $x$-осу.
Тангенс неког угла једнак је односу наспрамне и налегле катете, па је $tg \varphi=\frac{c}{1}=c$. Видимо да тангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са $y$-осом.
Котангенс неког угла једнак је односу налегле и наспрамне катете, па је $ctg \varphi=\frac{d}{1}=d$. Видимо да кoтангенс угла можемо очитати у пресеку другог крака угла са тангентом кружнице паралелном са $x$-осом.
Како угловима $\varphi + 2k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ на кружници $k$ одговара иста тачка $M$, важи
$$\sin \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \sin \varphi \quad \cos \left( {\varphi + 2k\pi } \right) = \cos \varphi$$
Угловима $\varphi + k\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}$ одговарају исти одсечци на тангентама, и важи
$$tg\left( {\varphi + k\pi } \right) = tg\varphi, \quad ctg\left( {\varphi + k\pi } \right) = ctg\varphi.$$
Тачка $M\left( {x,y} \right) = M\left( {\cos \varphi,\sin \varphi} \right)$ припада кружници $k$ за свако $\varphi \in \mathbb{R}$, и важи
$ - 1 \leqslant \sin \varphi \leqslant 1, \quad - 1 \leqslant \cos \varphi \leqslant 1$,
${\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1$
Знак тригонометријских функција по квадрантима
Свођење на први квадрант
Следеће формуле важе за сваки угао $\alpha $, али се првенствено користе када је $\alpha$ оштар угао:
$$\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha,$$
$$\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha,$$
$$tg\left( { - \alpha } \right) = - tg\alpha,$$
$$ctg\left( { - \alpha } \right) = - ctg\alpha.$$
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {2k\pi + \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\pi \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ \mp \sin } \\
{ - \cos } \\
{ \pm tg} \\
{ \pm ctg}
\end{array}} \right\}\alpha $
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{\pi }{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ + \cos } \\
{ \mp \sin } \\
{ \mp ctg} \\
{ \mp tg}
\end{array}} \right\}\alpha $
$\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sin } \\
{\cos } \\
{tg} \\
{ctg}
\end{array}} \right\}\left( {\frac{{3\pi }}{2} \pm \alpha } \right) = \left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - \cos } \\
{ \pm \sin } \\
{ \mp ctg} \\
{ \mp tg}
\end{array}} \right\}$
Основни идентитети тригонометријских функција истог угла
$${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1,$$
$${\text{tg}}\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}, \quad{\text{ctg}}\alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }},$$
$$t{\text{g}}\alpha \cdot {\text{ctg}}\alpha = 1$$
$$\sin \alpha \cdot cosec\alpha = 1, \quad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,$$
$${\sec ^2 \alpha} = 1 + t{g^2}\alpha, \quad cose{c^2}\alpha = 1 + ct{g^2}\alpha,$$
$${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + t{g^2}\alpha }} = \frac{{ct{g^2}\alpha }}{{1 + ct{g^2}\alpha }},$$
$${\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + ct{g^2}\alpha }} = \frac{{t{g^2}\alpha }}{{1 + t{g^2}\alpha }}.$$
Неке вредности тригонометријских функција
Адиционе формуле
За свако $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ важи
$$\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta,$$
$$\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta .$$
За свако $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ важи
$$tg\left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{tg\alpha \pm tg\beta }}{{1 \mp tg\alpha \cdot tg\beta }}, \quad \left( {1 \mp tg\alpha tg\beta \ne 0} \right).$$
За свако $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi :k \in \mathbb{Z}} \right\}$ важи
$$ctg\left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{ctg\alpha \cdot ctg\beta \mp 1}}{{ctg\alpha \pm ctg\beta }}, \quad \left( {ctg\alpha \pm ctg\beta \ne 0} \right).$$
Тригонометријске функције двоструког угла
$$\sin 2\alpha {\text{ = }}2\sin \alpha \cos \alpha,$$
$$\cos 2\alpha {\text{ = }}{\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1,$$
$$tg2\alpha = \frac{{2tg\alpha }}{{1 - t{g^2}\alpha }}, \quad ctg2\alpha = \frac{{ct{g^2}\alpha - 1}}{{2ctg\alpha }}.$$
Тригонометријске функције половине угла
$$\sin \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}, \quad \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}} ,$$
$$tg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }},$$
$$ctg\frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = } \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \alpha }} = \frac{{1 + \cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.$$
Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ
$$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha \mp \beta }}{2},$$
$$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2},$$
$$\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha - \beta }}{2},$$
$$tg\alpha \pm tg\beta = \frac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }},$$
$$ctg\alpha \pm ctg\beta = \frac{{\sin \left( {\beta \pm \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}.$$
Трансформација производа тригонометријских функција у збир или разлику
$$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right],$$
$$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right],$$
$$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right].$$
Важније тригонометријске формуле
$$\sin \alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad \cos \alpha = \frac{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}{{1 + t{g^2}\frac{\alpha }{2}}}, \quad {\text{tg}}\alpha = \frac{{2tg\frac{\alpha }{2}}}{{1 - t{g^2}\frac{\alpha }{2}}},$$
$$\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + ... + \sin n\alpha = \frac{{\cos \frac{\alpha }{2} - \cos \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}},$$
$$\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + ... + \cos n\alpha = \frac{{ - \sin \frac{\alpha }{2} + \sin \frac{{\left( {2n + 1} \right)\alpha }}{2}}}{{2\sin \frac{\alpha }{2}}}.$$