Аналитичка геометрија у равни

Елипса

Елипса је геоемтријско место тачака у равни са особином да је збир растојања од две утврђене тачке сталан.

Те фиксне тачке се обележавају са ${F_1}$ и ${F_2}$ и називају се жиже или фокуси, а збир растојања ма које тачке елипсе до фокуса увек се обележава са $2a$.

  1. Каноничка једначина: $$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$$ где је $b^2=a^2-c^2.$ Параметри $a$ и $b$ су дужине велике, односно мале полуосе, а $c$ представља линеарни ексцентритет елипсе.
  2. Нумерички ексентрицитет је параметар: $e = \frac{c}{a} = \sqrt {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}  < 1$.
  3. Жиже (фокуси): $F_1\left( {-c,0} \right),{\text{ }}F_2\left( {c,0} \right)$.
  4. Једначине директрисе: $x = \frac{a}{e},{\text{ }}x =  - \frac{a}{e}$.
  5. Фокални параметар: $p = \frac{{{b^2}}}{a}$
  6. Фокални радијуси: ${r_1} = a + ex$, ${r_2} = a - ex$, $r_1+r_2=2a$.
  7. Тангента у тачки $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$: $\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1$.
  8. Услов да права $y = kx + n$ буде тангента елипсе: ${a^2}{k^2} + {b^2} = {n^2}$

 elipsa1