Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Услов колинеарности три тачке

Три тачке M1(x1,y1){M_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right), M2(x2y2){M_2}\left( {{x_2}{y_2}} \right) и M3(x3,y3){M_3}\left( {{x_3},{y_3}} \right) леже на истој прави ако и само ако је: ∣x1y11x2y21x3y31∣=0\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = 0

Три тачке M1(x1,y1)M_1(x_1, y_1), M2(x2,y2)M_2(x_2, y_2) и M3(x3,y3)M_3(x_3, y_3) су колинеарне, тј. леже на једној правој, ако и само ако је детерминанта са редовима xix_i, yiy_i, 11 једнака нули. Развијена, она гласи x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)=0x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0.

Иза услова стоји површина: та детерминанта је, до на знак, двострука површина троугла M1M2M3M_1M_2M_3, а троугао нестаје тачно кад су темена на једној правој. Исто можете проверити и коефицијентима правца, y2−y1x2−x1=y3−y1x3−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}, али та провера отпада кад су неке xx-координате једнаке. Услов са детерминантом важи увек. Кад тражите непознату координату, изједначите детерминанту са нулом и решите линеарну једначину.

12345678910111212345678xyABC
Детерминанта
−6
Површина троугла
3
Детерминанта је, до на знак, двострука површина троугла ABCABC. Кад тачку CC доведете на праву ABAB, на пример у (11,7)(11, 7), троугао нестаје и детерминанта постаје нула.

Геометри из измерених координата овако проверавају да ли су стубови, међне тачке или ивичњаци у истој линији. У рачунарској геометрији исти израз је основни тест: нула значи да су три тачке на правој, а знак показује са које стране праве је трећа тачка.

Стубови ограде

Мајстор поставља стубове ограде у правој линији. Прва два стуба су у тачкама A(2,1)A(2, 1) и B(5,3)B(5, 3); координате су у метрима, од угла плаца. Трећи стуб мора бити на x=11x = 11. Колика треба да буде његова друга координата?

Решење

  1. Услов колинеарности за тачку C(11,y)C(11, y): 2⋅(3−y)+5⋅(y−1)+11⋅(1−3)=02 \cdot (3 - y) + 5 \cdot (y - 1) + 11 \cdot (1 - 3) = 0.
  2. Сређивањем: 6−2y+5y−5−22=06 - 2y + 5y - 5 - 22 = 0, тј. 3y−21=03y - 21 = 0.
  3. Одатле је y=7y = 7, па је трећи стуб у тачки C(11,7)C(11, 7).
  4. Провера коефицијентима правца: 3−15−2=23\frac{3 - 1}{5 - 2} = \frac{2}{3} и 7−111−2=69=23\frac{7 - 1}{11 - 2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}.

Одговор: Трећи стуб треба поставити у тачку C(11,7)C(11, 7).

Задатак за вежбу

Да ли тачке A(−1,4)A(-1, 4), B(2,2)B(2, 2) и C(8,−2)C(8, -2) леже на истој правој?

Прикажи решење

−1⋅(2−(−2))+2⋅(−2−4)+8⋅(4−2)=−4−12+16=0-1 \cdot (2 - (-2)) + 2 \cdot (-2 - 4) + 8 \cdot (4 - 2) = -4 - 12 + 16 = 0, па су тачке колинеарне.