Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Кружница

Кружница је геометријско место тачака у равни једнако удаљених од једне утврђене тачке.

Утврђена тачка се назива центар, а дуж, чије су крајње тачке центар и било која тачка на кружници, назива се полупречник.

Једначина кружнице са центром у тачки C(p,q)C\left( {p,q} \right) и полупречником rr је

(x−p)2+(y−q)2=r2{\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2}

kruznica

Једначина

Ax2+Bx+Ay2+Cy+D=0A{x^2} + Bx + A{y^2} + Cy + D = 0

је једначина кружнице, ако је

B2+C2−4AD>0{B^2} + {C^2} - 4AD > 0.

Тада су центар кружнице C(p,q)C\left( {p,q} \right) и полупречник rr одређени са 

p=−B2Ap = - \frac{B}{{2A}}, q=−C2Aq = - \frac{C}{{2A}}, r2=B2+C2−4AD4A2{r^2} = \frac{{{B^2} + {C^2} - 4AD}}{{4{A^2}}}.

Тангента кружнице

Ако тачка M0(x0,y0){M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) припада кружници (x−p)2+(y−q)2=r2{\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2}, онда је 

(x0−p)⋅(x−p)+(y0−q)⋅(y−q)=r2\left( {{x_0} - p} \right) \cdot \left( {x - p} \right) + \left( {{y_0} - q} \right) \cdot \left( {y - q} \right) = {r^2}

Једначина тангенте кружнице у тачки M0{M_0}.

Права y=kx+ny = kx + n је тангента кружнице (x−p)2+(y−q)2=r2{\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {y - q} \right)^2} = {r^2} тада и само тада када је 

(1+k2)r2=(q−kp−n)2\left( {1 + {k^2}} \right){r^2} = {\left( {q - kp - n} \right)^2}.

Кружница је скуп тачака равни које су на истом растојању rr од једне тачке, центра C(p,q)C(p, q). Из формуле за растојање следи њена једначина (x−p)2+(y−q)2=r2(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2. Кад заграде развијете, добијате општи облик: коефицијенти уз x2x^2 и y2y^2 су једнаки, а члана са xyxy нема.

Центар и полупречник из општег облика налазите допуном до квадрата: x2+y2−4x+6y−3=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 постаје (x−2)2+(y+3)2=16(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16, па је центар (2,−3)(2, -3), а r=4r = 4. Тачка (x0,y0)(x_0, y_0) је унутар кружнице ако је (x0−p)2+(y0−q)2<r2(x_0 - p)^2 + (y_0 - q)^2 < r^2, а ван ње ако је тај збир већи. Тангента у тачки (x0,y0)(x_0, y_0) кружнице је (x0−p)(x−p)+(y0−q)(y−q)=r2(x_0 - p)(x - p) + (y_0 - q)(y - q) = r^2. Пазите на знак: у (y+3)2(y + 3)^2 је q=−3q = -3, а не 33.

−112345678910−2−1123456780xyr = 55,39CMT
p
4
q
3
r = |CM|
5
|CT|
5,39
Кружница пролази кроз тачку MM, па је r=∣CM∣r = |CM|. Тачка TT је унутар круга кад је ∣CT∣<r|CT| < r, а ван њега кад је ∣CT∣>r|CT| > r; на почетку је то двориште из примера.

Домет прскалице, мобилне антене или Wi-Fi рутера на плану је круг, па се једначином кружнице проверава која тачка је покривена. Пројектанти кружних токова и спортских терена овако задају кривине на плану.

Прскалица у дворишту

Прскалица у дворишту у Ваљеву стоји у тачки C(4,3)C(4, 3) и залива круг полупречника 5 m; координатни почетак је у углу дворишта, а јединица је метар. Напишите једначину ивице заливеног круга. Да ли вода стиже до малине у тачки M(1,7)M(1, 7) и до трешње у тачки T(9,5)T(9, 5)?

Решење

  1. Центар је C(4,3)C(4, 3), а r=5r = 5, па је ивица (x−4)2+(y−3)2=25(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25.
  2. Малина: (1−4)2+(7−3)2=9+16=25(1 - 4)^2 + (7 - 3)^2 = 9 + 16 = 25, што је тачно r2r^2, па је малина на самој ивици.
  3. Трешња: (9−4)2+(5−3)2=25+4=29>25(9 - 4)^2 + (5 - 3)^2 = 25 + 4 = 29 > 25, па је трешња ван заливеног круга.
  4. Развијањем заграда добијамо општи облик x2+y2−8x−6y=0x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0. Слободног члана нема, па кружница пролази и кроз угао дворишта (0,0)(0, 0).

Одговор: Ивица заливеног круга је (x−4)2+(y−3)2=25(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25: вода стиже тачно до малине, а трешња је ван домета прскалице.

Задатак за вежбу

Одредите центар и полупречник кружнице x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0. Да ли тачка (6,2)(6, 2) лежи на њој?

Прикажи решење

Допуна до квадрата: (x−3)2+(y+2)2=12+9+4=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25, па је центар (3,−2)(3, -2), а r=5r = 5. За (6,2)(6, 2): 32+42=253^2 + 4^2 = 25, па тачка лежи на кружници.