Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Површина троугла

Површина ∣P∣\left| P \right| троугла са теменима M1(x1,y1){M_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right), M2(x2y2){M_2}\left( {{x_2}{y_2}} \right) и M3(x3,y3){M_3}\left( {{x_3},{y_3}} \right) одређена је формулом:

P=12∣x1y11x2y21x3y31∣=12∣x1−x3y1−y3x2−x3y2−y3∣P = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} - {x_3}}&{{y_1} - {y_3}}\\ {{x_2} - {x_3}}&{{y_2} - {y_3}} \end{array}} \right| =12(x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2))= \frac{1}{2}\left( {{x_1}\left( {{y_2} - {y_3}} \right) + {x_2}\left( {{y_3} - {y_1}} \right) + {x_3}\left( {{y_1} - {y_2}} \right)} \right).

povrsina trougla

Површина троугла са теменима M1(x1,y1)M_1(x_1, y_1), M2(x2,y2)M_2(x_2, y_2) и M3(x3,y3)M_3(x_3, y_3) рачуна се директно из координата, без цртања висине: P=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|. Израз под апсолутном вредношћу је развијена детерминанта трећег реда чији су редови xix_i, yiy_i, 11.

Знак детерминанте зависи од редоследа темена: позитиван је кад их обилазите супротно од смера казаљке на сату, а негативан у обрнутом смеру. Зато се узима апсолутна вредност. Честе грешке су да се она изостави или да се заборави фактор 12\frac{1}{2}. Ако детерминанта испадне нула, тачке су колинеарне и троугла нема. Исти поступак, уз поделу на троуглове, даје површину сваког многоугла.

1234567812345678xyABC
Детерминанта
33
Површина P
16,5
Превуците једно теме преко наспрамне странице: детерминанта мења знак, а површина остаје позитивна. На почетку је то парцела из примера са јединицом 10 m, па површина показује број ари.

Геометри рачунају површину парцеле из координата њених темена измерених GPS уређајем, делећи је на троуглове. Програми за рачунарску графику по знаку исте детерминанте одређују како је троугао на екрану оријентисан.

Троугласта парцела

Геометар је у локалном координатном систему измерио темена троугласте парцеле код Чачка, у метрима: A(10,20)A(10, 20), B(70,30)B(70, 30) и C(40,80)C(40, 80). Колика је површина парцеле у квадратним метрима и у арима (11 ар =100= 100 m²)?

Решење

  1. Убацимо координате у формулу: 10⋅(30−80)+70⋅(80−20)+40⋅(20−30)10 \cdot (30 - 80) + 70 \cdot (80 - 20) + 40 \cdot (20 - 30).
  2. Сабирци су −500-500, 42004200 и −400-400, па је детерминанта 33003300.
  3. Површина: P=12⋅∣3300∣=1650P = \frac{1}{2} \cdot |3300| = 1650 m².
  4. У арима: 1650:100=16,51650 : 100 = 16{,}5 ари.

Одговор: Парцела има површину 1650 m², односно 16,5 ари.

Задатак за вежбу

Израчунајте површину троугла са теменима A(−2,1)A(-2, 1), B(4,−1)B(4, -1) и C(3,5)C(3, 5).

Прикажи решење

P=12∣−2⋅(−1−5)+4⋅(5−1)+3⋅(1−(−1))∣=12∣12+16+6∣=17P = \frac{1}{2}|-2 \cdot (-1 - 5) + 4 \cdot (5 - 1) + 3 \cdot (1 - (-1))| = \frac{1}{2}|12 + 16 + 6| = 17.