Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Парабола

Парабола је геометријско место тачака у равни са особином да је растојање од једне фиксне тачке FF једнако растојању од једне фиксне праве dd. Тачка FF се назива жижа или фокус, а права dd директриса параболе.

  1. Каноничка једначина: y2=2px{y^2} = 2px.
  2. Ексентрицитет: e=1e = 1.
  3. Жижа (фокус): (p2, 0)\left( {\frac{p}{2},{\text{ }}0} \right).
  4. Једначина директрисе: x=−p2x = - \frac{p}{2}.
  5. Фокусни параметар: pp.
  6. Фокусни радијус: r=x+p2r = x + \frac{p}{2}.
  7. Тангента у тачки: M(x0,y0)M\left( {{x_0},{y_0}} \right): y0y=p(x−x0){y_0}y = p\left( {x - {x_0}} \right)
  8. Услов да права y=kx+ny = kx + n буде тангента параболе: 2kn=p2kn = p

parabola

Парабола је скуп тачака равни које су једнако удаљене од једне тачке, жиже FF, и од једне праве, директрисе dd. Кад је оса параболе оса xx, а теме у координатном почетку, њена каноничка једначина је y2=2pxy^2 = 2px. Тада је жижа F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right), а директриса x=−p2x = -\frac{p}{2}.

Параметар pp је растојање жиже од директрисе: што је већи, парабола је отворенија. Растојање тачке (x,y)(x, y) параболе од жиже је r=x+p2r = x + \frac{p}{2}, а ексцентрицитет је увек e=1e = 1. Тангента у тачки (x0,y0)(x_0, y_0) је y0y=p(x+x0)y_0y = p(x + x_0), а права y=kx+ny = kx + n додирује параболу кад је p=2knp = 2kn. Честа грешка: жижа није у тачки (p,0)(p, 0), него на пола тог растојања, у (p2,0)\left(\frac{p}{2}, 0\right).

−3−113−3−1130xydFM
5 dm
0,9 dm
|MF|
3,4 dm
Растојање од директрисе
3,4 dm
Жижа од темена
2,5 dm
Растојање тачке MM од жиже FF увек је једнако њеном растојању од директрисе dd. На почетку је то пресек антене из примера у дециметрима: p=5p = 5, ивица у (0,9; 3)(0{,}9;\ 3), жижа на 2,52{,}5 dm од темена.

Сателитске антене, фарови аутомобила и соларни концентратори имају параболичан пресек: зраци паралелни оси после одбијања пролазе кроз жижу, а светло сијалице у жижи излази као паралелан сноп.

Пријемник сателитске антене

Сателитска антена на крову у Крагујевцу има пречник отвора 60 cm и дубину 9 cm, а њен пресек кроз осу је парабола. Пријемник мора бити у жижи, где се скупљају сви одбијени зраци. Колико далеко од темена (дна) антене треба да буде?

Решење

  1. Поставимо теме у координатни почетак, а осу xx дуж осе антене. Ивица отвора је тада у тачки (9,30)(9, 30), јер је полупречник отвора 30 cm.
  2. Убацимо ту тачку у y2=2pxy^2 = 2px: 302=2p⋅930^2 = 2p \cdot 9, тј. 900=18p900 = 18p, па је p=50p = 50 cm.
  3. Жижа је у тачки F(p2,0)=F(25,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right) = F(25, 0).
  4. Провера: ивица је од жиже удаљена r=9+25=34r = 9 + 25 = 34 cm, а и непосредно (25−9)2+302=1156=34\sqrt{(25 - 9)^2 + 30^2} = \sqrt{1156} = 34 cm.

Одговор: Пријемник треба поставити на осу антене, 25 cm од њеног темена.

Задатак за вежбу

Рефлектор фара има параболичан пресек, пречник отвора 16 cm и дубину 4 cm. Колико далеко од темена рефлектора треба поставити сијалицу да би светло излазило као паралелан сноп?

Прикажи решење

Ивица је у тачки (4,8)(4, 8), па 82=2p⋅48^2 = 2p \cdot 4 даје p=8p = 8 cm. Жижа је у (p2,0)=(4,0)\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (4, 0): сијалица је 4 cm од темена, тачно у равни отвора.