Аналитичка геометрија у равни

Једначина праве

Општи облик

Једначина облика

${A x} + {B y} + C = 0,$

где $A$ и $B$ нису истовремено једнаки нули, назива се општи облик једначине праве. Ако је $C = 0$, права пролази кроз координатни почетак.

 

Експлицитни облик

Једначина

$y = kx + n$

назива се експлицитни облик једначине праве.

ekspl obl jedn prave


Права $y = kx + n$ пресеца $Oy$ осу у тачки $\left( {0,n} \right)$ а осу $Ox$ у тачки $\left( { - \frac{n}{k},0} \right), k \ne 0$ и образујe са позитивним смером $Ox$ oсе угао $\alpha$. Број $k = tg{\rm{ }}\alpha$ назива се коефицијент правца те праве, а $n$ представља одсечак на $Оy$ оси.

 

Сегментни облик

Једначина

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,a \ne 0,b \ne 0,$$

назива се сегментни облик једначине праве.

Права $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ пресеца осу $Ox$ у тачки $\left( {a,O} \right)$, а осу $Oy$ у тачки $\left( {O,b} \right)$, па се $a$ назива одсечак праве на $x$-оси, а $b$ одсечак на $y$-оси.

segmentni obl jedn prave

Једначина $x = a$ одређује праву паралелну оси $Oy$, а једначина $y = b$ одређује праву паралелну оси $Ox$ Једначина осе $Ox$ је $y = 0$, а осе $Oy$ је $x = 0$.

jedn x y ose

Нормални облик

Једначина

$x\cos \beta + y\sin \beta - p = 0$

назива се нормални облик једначине праве, где је $p$ растојање праве од координатног почетка, а $\beta$ угао који образује нормала те праве са позитивним смером осе $Ox$.

normalni obl jedn prave
 

Једначина прамена правих

Једначина прамена правих са центром у тачки ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ је

$y - {y_0} = k\left( {x - {x_0}} \right)$


Једначина праве кроз две тачке

Једначина праве која пролази кроз две различите тачке ${M_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ je

$\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$

или

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&1\\ {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1 \end{array}} \right| = 0,$

или

$$y - {y_1} = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\left( {x - {x_1}} \right).$$


Везе између разних облика једначина праве

Сегменти $a$ и $b$, коефицијент правца $k$, растојање праве од координатног почетка $p$, $\cos \beta $ и $\sin \beta $ ($\beta $ је угао који образује нормала те праве са позитивним смером осе $Ox$) могу се изразити помоћу коефицијената $A,{\rm{ }}B$ и $C$ на следећи начин:

$a = - \frac{C}{A},{\rm{ }}b = - \frac{C}{B},{\rm{ }}k = tg\alpha = - \frac{A}{B},{\rm{ }}\alpha = \beta - \frac{\pi }{2},$

$p = \frac{C}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }},{\rm{ }}\cos \beta = \frac{A}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }},{\rm{ }}\sin \beta = \frac{B}{{ \pm \sqrt {{A^2} + {B^2}} }}.$

Предзнак пред кореном се бира тако да буде $p > 0$.


Две праве Услов паралелности

Праве

$y = {k_1}x + {n_1}$  и  $y = {k_2}x + {n_2}$

су паралелне ако и само ако је ${k_1} = {k_2}$.

paralelne prave

Праве

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

су паралелне ако и само ако

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| = {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = 0.$


Пресек правих

Праве

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

се секу ако и само ако

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{{B_1}}\\ {{A_2}}&{{B_2}} \end{array}} \right| = {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} \ne 0.$


Услов нормалности

Праве

$y = {k_1}x + {n_1}$ и $y = {k_2}n + {n_2}$

су нормалне ако и само ако је ${k_1}{k_2} = - 1$ oдносно ${k_1}=-\frac{1}{k_2}$.

normalne prave

Праве

${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

су нормалне ако и само ако је

${A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} = 0.$

Права која је нормална на праву

$Ax + By + C = 0$ и $y = kx + n$

и која пролази кроз тачку ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ има једначину

$y - y_0 = \frac{B}{A}\left( {x - {x_0}} \right)$ или $y - {y_0} = - \frac{1}{k}\left( {x - {x_0}} \right).$


Угао између правих

Нека су праве  и  дате једначинама

 

$y = {k_1}x + {n_1}$ и $y = {k_2}x + {n_2}$ .

 

Угао  између правих  и  одређен је са

 $${\text{tg}}\varphi  = \frac{{{k_2} - {k_1}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}.$$

Ако је $1 + {k_1}{k_2} = 0,$  праве ${p_1}$ и ${p_2}$ су нормалне, па је $\varphi  =  \pm {90^ \circ }.$

 Угао између правих

 ${A_1}x + {B_1}y + {C_1} = 0$ и ${A_2}x + {B_2}x + {C_2} = 0$

 

одређен је са

 $${\text{tg}}\varphi  = \frac{{{A_1}{B_2} - {A_2}{B_1}}}{{{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}}}.$$

 

За ${A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} = 0,$ праве су нормалне, па је $\varphi  =  \pm {90^ \circ }.$

Праве које пролазе кроз тачку ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right),$ а са правом

$Ax + By + C = 0$ 

образују угао $\gamma ,$ имају једначине

 

$y - {y_0} = \frac{{B{\text{tg}}\gamma  - A}}{{A{\text{tg}}\gamma  + B}}\left( {x - {x_0}} \right)$, $y - {y_0} = \frac{{B{\text{tg}}\gamma  + A}}{{A{\text{tg}}\gamma  - B}}\left( {x - {x_0}} \right)$.

 

Растојање паралелних правих

Растојање |$\delta$| између паралелних правих

${A_1}x+{B_1}y+{C_1}=0$ и ${A_2}x+{B_2}y+{C_2}=0$

одређено је са

$$\delta=\frac{C_1-C}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}.$$

 

Растојање тачке од праве

Растојање |$d$| тачке $M_0(x_0,y_0)$ од праве $Ax+By+C=0$ одређено је са

$$d=\frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Нека је $C\ne0$, што значи да права не пролази кроз координатни почетак. Ако $d$ и $C$ имају исти предзнак, онда су тачка $M_0$ и координатни почетак са исте стране посматране праве, а ако имају супротне предзнаке, онда су са разних страна праве $Ax+By+C=0$. Aко је $d=0$, онда тачка $M_0$ припада правој.