Диференцијални рачун

Лопиталово правило

Ако се заменом вредности ${x_0}$ (односно ако $x \to \infty $) у функцију $f\left( x \right)$ добије неодређеност облика $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$, тада се израчунавање граничне вредности $\left. {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)} \right)$ могу применити следећа правила:

  1. Нека су функције $f$ и $g$ дефинисане и диференцијабилне у околини $U\left( {{x_0}} \right)$ или $U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$. Нека је

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0$

    и $g`\left( x \right) \ne 0,x \in U\left( {{x_0}} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$.
    Ако је тада 

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f`\left( x \right)}}{{g`\left( x \right)}} = A,$

    онда је

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = A$

    Исти закључак важи када је

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \infty ,$

    а такође и када $x \to {x_0} \pm 0$,
  2. Нека су функције $f$ и $g$ диференцијабилне за $\left| x \right| > a,a > 0$ и

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) = 0$

    и

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) \ne 0$.

    Ако је тада

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f`\left( x \right)}}{{g`\left( x \right)}} = A$,

    онда је 

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = A$

    Исти закључак важи и када је 

    $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x \right) = \infty $.

 

Применом Лопиталовог правила могу се наћи граничне вредности неодређених израза $''\frac{0}{0}'',''\frac{\infty }{\infty }'',''0 \cdot \infty '',''\infty  - \infty '',''{0^0}'',''{\infty ^0}'',''{1^\infty }''$.

Облици $''0 \cdot \infty''$ и $''\infty  - \infty''$ најпре се трансформишу у разломке облика $''\frac{0}{0}''$ или $''\frac{\infty }{\infty }''$, па се онда примени Лопиталово правило, а изрази $''{0^0}''$, $''{\infty ^0}''$ и $''{1^\infty }''$ се претходно логоритмују, нађе се гранична вредност њиховог логаритма, а затим и гранична вредност саме функције.