Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Први извод

Нека је f:(a,b)⊆R→Rf:\left( {a,b} \right) \subseteq R \to R и x0∈(a,b){x_0} \in \left( {a,b} \right). Функција ff је диференцијабилна у тачки x0{x_0}, ако постоји гранична вредност

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}.

Ова гранична вредност се зове извод ff у тачки x0{x_0} и означава са  f′(x0),ddxf(x0),dfdx∣x=x0.f'(x_0),\quad \frac{d}{dx}f(x_0),\quad \frac{df}{dx}|_{x=x_0}.

Функција ff је диференцијабилна здесна (слева) у тачки x0x_0, ако постоји гранична вредност

lim⁡x→x0+0f(x)−f(x0)x−x0 (lim⁡x→x0−0f(x)−f(x0)x−x0).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}{\text{ }}\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} - 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}} \right).

Ова гранична вредност се назива извод здесна (слева) функције ff у тачки x0{x_0} и означава са f+′(x0) (f−′(x0))f_ {+}'\left( {{x_0}} \right){\text{ }}\left( {f_ {-}'\left( {{x_0}} \right)} \right).

Ако постоји f′(x0)f'\left( {{x_0}} \right) онда је функција ff диференцијабилна и здесна и слева у тачки x0{x_0} и важи 

f′(x0)=f+′(x0)=f−′(x0)f'\left( {{x_0}} \right) = f'_+\left( {{x_0}} \right) = f'_-\left( {{x_0}} \right).

Ако постоје f+′(x0)f'_+\left( {{x_0}} \right) и f−′(x0)f'_-\left( {{x_0}} \right) и ако је f+′(x0)=f−′(x0)f'_+\left( {{x_0}} \right) = f'_-\left( {{x_0}} \right), онда постоји f′(x0)=f+′(x0)=f−′(x0)f'\left( {{x_0}} \right) = f'_ +\left( {{x_0}} \right) = f'_ - \left( {{x_0}} \right)

Функција је диференцијабилна на интервалу DD, ако је диферецијабилна у свакој тачки тог интервала. Ако је D=[a,b]D = \left[ {a,b} \right], функција мора бити диференцијабилна и у тачки aa здесна, и у тачки bb слева. Каже се да је функција диференцијабилна, ако је диференцијабилна на свом домену D(f)D\left( f \right).

Функција је диференцијабилна у околини U(x0)U\left( {{x_0}} \right) тачке x0{x_0}, ако је диференцијабилна у свакој тачки те околине.

Извод функције ff у тачки x0x_0 је гранична вредност f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, ако постоји. Количник је нагиб сечице кроз тачке (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) и (x,f(x))(x, f(x)). Кад xx тежи x0x_0, сечица прелази у тангенту, па је f′(x0)f'(x_0) нагиб тангенте, а у физици тренутна брзина.

Граница рачуната само здесна или само слева даје изводе f+′(x0)f'_+(x_0) и f−′(x0)f'_-(x_0). Извод постоји тачно кад оба постоје и једнака су. Функција ∣x∣|x| у нули има f+′(0)=1f'_+(0) = 1 и f−′(0)=−1f'_-(0) = -1, па тамо нема извод, иако је непрекидна. Кад рачунате по дефиницији, у бројиоцу издвојите чинилац x−x0x - x_0 и скратите га пре преласка на границу.

0,250,50,7511,25246810t (s)h (m)AB
0,3 s
Нагиб сечице AB
−6,5 m/s
Извод h′(1)
−10 m/s
Превуците тачку BB ка тачки AA: сечица се окреће ка тангенти, а њен нагиб −5(t+1)-5(t + 1) прилази броју −10-10, брзини из примера. Кад се BB поклопи са AA, сечица више не постоји и остаје само гранична вредност.

Брзиномер у аутомобилу и спортски сат показују извод пређеног пута по времену, а економисти изводом мере колико порасте трошак кад се производња повећа за један комад.

Скок са торња

Скакач у воду пусти се са торња високог 10 m. Његова висина изнад воде после tt секунди је h(t)=10−5t2h(t) = 10 - 5t^2 метара. По дефиницији извода израчунајте његову брзину у тренутку t=1t = 1 s.

Решење

  1. Тражимо h′(1)=lim⁡t→1h(t)−h(1)t−1h'(1) = \lim_{t \to 1} \frac{h(t) - h(1)}{t - 1}, где је h(1)=10−5=5h(1) = 10 - 5 = 5.
  2. Количник је 10−5t2−5t−1=5(1−t2)t−1=−5(t−1)(t+1)t−1\frac{10 - 5t^2 - 5}{t - 1} = \frac{5(1 - t^2)}{t - 1} = \frac{-5(t - 1)(t + 1)}{t - 1}.
  3. За t≠1t \ne 1 скратимо t−1t - 1 и остаје −5(t+1)-5(t + 1).
  4. Гранична вредност је h′(1)=lim⁡t→1(−5(t+1))=−10h'(1) = \lim_{t \to 1} \left(-5(t + 1)\right) = -10. Знак минус значи да висина опада.

Одговор: После једне секунде скакач пада брзином од 10 m/s, тј. 36 km/h.

Задатак за вежбу

По дефиницији израчунајте извод функције f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x у тачки x0=2x_0 = 2.

Прикажи решење

f(2)=10f(2) = 10, па је x2+3x−10x−2=(x−2)(x+5)x−2=x+5\frac{x^2 + 3x - 10}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 5)}{x - 2} = x + 5, што за x→2x \to 2 тежи броју 7. Дакле f′(2)=7f'(2) = 7.