Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Извод вишег реда

Нека је извод f′f' функције ff диференцијабилан у тачки x0∈D(f′){x_0} \in D\left( {f'} \right). Тада се 

(f′(x))′∣x=x0{\left. {\left( {f'\left( x \right)} \right)'} \right|_{x = {x_0}}}

назива другим изводом функције ff у тачки x0{x_0}. То се означава 

f′′(x0)=f(2)(x0)=d2dx2f(x0).f''\left( {{x_0}} \right) = {f^{\left( 2 \right)}}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( {{x_0}} \right).

Аналогно се дефинише nn-ти извод, или извод nn-тог реда, функције ff у тачки x0{x_0}

f(n)(x0)=dndxnf(x0).{f^{(n)}}\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}f\left( {{x_0}} \right).

Ако постоји f(n)(x0){f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right),онда је функција ff nn-пута диференцијабилна у тачки x0{x_0}.

Важи 

(f(n)(x))(m)∣x=x0=f(m+n)(x0).{\left. {{{\left( {{f^{(n)}}\left( x \right)} \right)}^{(m)}}} \right|_{x = {x_0}}} = {f^{\left( {m + n} \right)}}\left( {{x_0}} \right).

Други извод је извод првог извода, f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = (f'(x))', а nn-ти извод f(n)f^{(n)} добија се кад се функција диференцира nn пута заредом. Важи (f(n))(m)=f(n+m)(f^{(n)})^{(m)} = f^{(n+m)}. Ознаке су f′′f'', f(2)f^{(2)} или d2fdx2\frac{d^2 f}{dx^2}, а од четвртог извода навише број се пише у загради, f(4)f^{(4)}, да се цртице не броје.

Ако је f(t)f(t) пређени пут, f′f' је брзина, а f′′f'' убрзање. Полином степена nn има константан nn-ти извод, а сви виши изводи су му нула. Корисне формуле су (ekx)(n)=knekx(e^{kx})^{(n)} = k^ne^{kx} и (sin⁡x)(n)=sin⁡(x+nπ2)(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right). Честа грешка је да се f′′f'' рачуна као (f′)2(f')^2: то је квадрат, а не други извод.

48121610203040t (s)h (m)
4 s
Висина h
4,16 m
Брзина h′
1,92 m/s
Убрзање h″
0,36 m/s²
Нагиб тангенте је брзина h′(t)h'(t). До десете секунде нагиб расте, јер је h′′>0h'' > 0, а после опада, јер је h′′<0h'' < 0. У t=10t = 10 s брзина је највећа, а убрзање прелази нулу.

Инжењери из другог и трећег извода положаја рачунају убрзање и трзај, тј. промену убрзања, код лифтова, возова и тобогана, јер управо те величине одређују да ли је вожња удобна.

Вожња лифтом

Лифт у солитеру креће из приземља и после 20 секунди стаје на висини од 40 m. Висина кабине у метрима је h(t)=0,3t2−0,01t3h(t) = 0{,}3t^2 - 0{,}01t^3, за 0≤t≤200 \le t \le 20. Одредите брзину и убрзање као изводе, као и тренутак највеће брзине и њену вредност.

Решење

  1. Брзина је први извод: v(t)=h′(t)=0,6t−0,03t2v(t) = h'(t) = 0{,}6t - 0{,}03t^2. Како је v(0)=0v(0) = 0 и v(20)=12−12=0v(20) = 12 - 12 = 0, лифт полази и стаје мирно.
  2. Убрзање је други извод: a(t)=h′′(t)=0,6−0,06ta(t) = h''(t) = 0{,}6 - 0{,}06t.
  3. Брзина је највећа кад је a(t)=0a(t) = 0, тј. за t=10t = 10 s, и тада је v(10)=6−3=3v(10) = 6 - 3 = 3 m/s, на висини h(10)=30−10=20h(10) = 30 - 10 = 20 m.
  4. Трећи извод h′′′(t)=−0,06h'''(t) = -0{,}06 показује колико брзо се мења убрзање. Инжењери ову величину ограничавају ради удобности путника.

Одговор: v(t)=0,6t−0,03t2v(t) = 0{,}6t - 0{,}03t^2 и a(t)=0,6−0,06ta(t) = 0{,}6 - 0{,}06t; највећа брзина је 3 m/s, после 10 s, на висини од 20 m.

Задатак за вежбу

За f(x)=x4−2x3+5xf(x) = x^4 - 2x^3 + 5x израчунајте f′′′(x)f'''(x), f′′′(1)f'''(1) и f(5)(x)f^{(5)}(x).

Прикажи решење

f′=4x3−6x2+5f' = 4x^3 - 6x^2 + 5, f′′=12x2−12xf'' = 12x^2 - 12x, f′′′=24x−12f''' = 24x - 12, па је f′′′(1)=12f'''(1) = 12. Даље је f(4)=24f^{(4)} = 24 и f(5)=0f^{(5)} = 0.