Непрекидно диференцијабилна функција

Функција $f$ је $n$ -пута непрекидно диференцијабилна на интервалу $D$ , ако је $n$ пута диференцијабилна у свакој тачки $x \in D$ и ${f^{\left( n \right)}}$ је непрекидна функција на $D$ .

Да је функција $f$ $n$ -пута непрекидно диференцијабилна на интервалу $D$ , односно $\left[ {a,b} \right]$ обележава се $f \in {C^n}\left( D \right)$ , односно $f \in {C^n}\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)$ .

Таблица извода елементарних функција

Таблица извода елементарних функција је дата под предтпоставком да изводи постоје.

Функција	извод	функција	извод
$c\left( {const} \right)$	0	$\sin x$	$\cos x$
${x^n}$	$n{x^{n - 1}},n \in \mathbb{N}$	$\cos x$	$- \sin x$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{{{x^2}}}$	${\text{tg}}x$	$\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x$
$\frac{1}{{{x^n}}}$	$- \frac{n}{{{x^{n + 1}}}}$	${\text{ctg }}x$	$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cos e{c^2}x$
${x^a}$	$a{x^{a - 1}},a \in \mathbb{R}$	$\sec {\text{ }}x$	$\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}$
$\sqrt x$	$\frac{1}{{2\sqrt x }}$	$\cos ec{\text{ }}x$	$- \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}$	$\arcsin x$	$\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
${e^x}$	${e^x}$	${\text{arccos }}x$	$\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}$
${a^x}$	${a^x}\ln a$	${\text{arctg }}x$	$\frac{1}{{1 + {x^2}}}$
$In{\text{ }}x$	$\frac{1}{x}$	${\text{arcctg }}x$	$\frac{{ - 1}}{{1 + {x^2}}}$
${\log _a}\left\| x \right\|$	$\frac{1}{{x\ln a}} = \frac{1}{x}{\log _a}e,$	${\text{arcsec }}x$	$\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$
$\log x$	$\frac{1}{x}\log e \approx \frac{{0.4343}}{x}$	${\text{arccos }}x$	$\frac{{ - 1}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}$
$sh{\text{ }}x$	$ch{\text{ }}x$	$arcsh{\text{ }}x$	$\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$
$ch{\text{ }}x$	$sh{\text{ }}x$	$arcch{\text{ }}x$	$\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$
$th{\text{ }}x$	$\frac{1}{{c{h^2}x}}$	$arcth{\text{ }}x$	$\frac{1}{{1 - {x^2}}}$
$cth{\text{ }}x$	$\frac{{ - 1}}{{s{h^2}x}}$	$arccth{\text{ }}x$	$\frac{{ - 1}}{{1 - {x^2}}}$

функција	$n$ -ти извод
${x^m}$	$m\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}$ за целе бројеве $n > m$ , $n$ -ти извод једнак је 0
$In{\text{ }}x$	${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}}$
$I{n_a}{\text{ }}x$	${\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n} \cdot In{\text{ }}a}}$
${e^{kx}}$	${k^n}{e^{kx}}$
${a^x}$	${\left( {In{\text{ }}a} \right)^n}{a^x}$
${a^{kx}}$	${\left( {k{\text{ }}In{\text{ }}a} \right)^n}{a^{kx}}$
$\sin {\text{ }}x$	$\sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}x$	$\cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\sin {\text{ }}kx$	${k^n}\sin \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$\cos {\text{ }}kx$	${k^n}\cos \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)$
$sh{\text{ }}x$	$sh{\text{ }}x$ за парно $n$ , $ch{\text{ }}x$ за непарно $n$
$ch{\text{ }}x$	$ch{\text{ }}x$ за парно $n$ , $sh{\text{ }}x$ за непарно $n$

Особине диференцијабилних функција

Функција диференцијабилних у тачки ${x_0}$ , непрекидна је у тој тачки.
Нека су функције $f$ и $g$ диференцијабилне у тачки ${x_0}$ . Тада је функција $\alpha f + \beta g,{\text{ }}\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , диференцијабина у истој тачки и важи правило за извод збира функција.

$\left( {\alpha f + \beta g} \right)'{|_{x = {x_0}}} = \alpha f'\left( {{x_0}} \right) + \beta g'\left( {{x_0}} \right)$ .
Нека су функције $f$ и $g$ диференцијабилне у тачки ${x_0}$ . Тада је функција $f \cdot g$ диференцијабилна у истој тачки и важи правило за извод производа функција

${\left. {\left( {f \cdot g} \right)`} \right|_{x = {x_0}}} = f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right).$
Нека су функције $f$ и $g$ диференцијабилне у тачки ${x_0}$ и $g\left( {{x_0}} \right) \ne 0$ .
Тада је функција $\frac{f}{g}$ диференцијабилна у истој тачки и важи правило за извод количника функција.

${\left. {{{\left( {\frac{f}{g}} \right)}^`}} \right|_{x = {x_0}}} = \frac{{f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)}^2}}}$

Функција је $n$ пута непрекидно диференцијабилна на интервалу $D$ , што се пише $f \in C^n(D)$ , ако у свакој тачки има $n$ -ти извод и ако је $f^{(n)}$ непрекидна. Полиноми, $e^x$ , $\sin x$ и $\cos x$ припадају класи $C^n$ за свако $n$ . Што је $n$ веће, услов је строжи: из $f \in C^2$ следи $f \in C^1$ . Свака диференцијабилна функција је непрекидна, али обрнуто не важи: $|x|$ је непрекидна у нули, а тамо нема извод.

Изводи се рачунају по правилима $(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$ , $(fg)' = f'g + fg'$ и $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ и по таблици: $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , $(\sin x)' = \cos x$ . Честа грешка је $(fg)' = f'g'$ , што не важи.

Коефицијент a0,4

Тачка x1,5

f′(x): 1,2
f″(x): 0,8

Крива је

f(x) = 0

за

x \le 0

f(x) = ax^2

за

x > 0

, као пут из примера. Зелена права је

f'

: први извод нема скок, па је

f

класе

C^1

. Укључите

f''

: на споју скаче са 0 на

2a

, па

f

није класе

C^2

Пројектанти путева и пруга између праве деонице и кружног лука убацују прелазну кривину, да се закривљеност не би мењала скоком, тј. да траса буде класе $C^2$ .

Спој праве и кривине

Пројектант спаја праву деоницу пута са кривином. На плану, у метрима, ивица пута је $f(x) = 0$ за $x \le 0$ и $f(x) = \frac{x^2}{200}$ за $x > 0$ . Проверите да ли је $f$ класе $C^1$ и да ли је класе $C^2$ у околини тачке споја $x = 0$ .

Решење

Извод слева у нули је 0, а здесна $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 / 200}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{200} = 0$ . Једнаки су, па $f'(0) = 0$ постоји: на споју нема прелома.
Први извод је $f'(x) = 0$ за $x \le 0$ и $f'(x) = \frac{x}{100}$ за $x > 0$ . Оба дела теже нули кад $x \to 0$ , па је $f'$ непрекидна и $f \in C^1$ .
Други извод је 0 лево од споја и $\frac{1}{100}$ десно, па у нули скаче и $f''(0)$ не постоји: $f \notin C^2$ .
Закривљеност пута на споју зависи од $f''$ , па скаче са 0 на $0{,}01$ , што одговара луку полупречника 100 m. Возач би морао нагло да окрене волан, па се између праве и кривине убацује прелазна кривина.

Одговор: Ивица пута је класе $C^1$ , јер нема прелома, али није класе $C^2$ , јер други извод на споју скаче са 0 на $0{,}01$ .

Задатак за вежбу

Да ли је функција $f(x) = x|x|$ класе $C^1$ , а да ли класе $C^2$ на $\mathbb{R}$ ?

Прикажи решење

За $x \ge 0$ је $f(x) = x^2$ , а за $x < 0$ је $f(x) = -x^2$ , па је $f'(x) = 2|x|$ , непрекидна функција: $f \in C^1$ . Функција $2|x|$ у нули нема извод ( $f'' = 2$ десно и $-2$ лево), па $f \notin C^2$ .