Нумеричко диференцирање

Апроксимације првог извода

Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ . Онда за свако $x$ , $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$ , $h > 0$ , постоје

$\alpha ,\beta \in \left( {x,x + h} \right)$ и $\gamma ,\delta \in \left( {x - h,x} \right),$ ,

такви да важи

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h} - \frac{{f''\left( \alpha \right)}}{2}h,$

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {x - h} \right)}}{h} + \frac{{f''\left( \gamma \right)}}{2}h$

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}} + \frac{{f''\left( \delta \right) - f''\left( \beta \right)}}{4}h$
Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ . Онда за свако $x$ , $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$ , $h > 0$ , постоји

$\alpha \in \left( {x - h,x + h} \right),$

такво да важи

$f'\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}} - \frac{{f'''\left( \alpha \right)}}{6}{h^2}.$

Као апроксимације првог извода узимају се:

диференцијални количник унапред

${D^ + }f\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}$

диференцијални количник уназад

${D^ - }f\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {x - h} \right)}}{h}$

централни диференцијални количник

${D^0}f\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( {x - h} \right)}}{{2h}}$ .

Апроксимације другог извода

Нека је $f \in {C^2}\left[ {a,b} \right]$ Онда за свако $x$ , $x \pm h \in \left[ {a,b} \right]$ , $h > 0$ постоје

$\alpha \in \left( {x - h,x + h} \right)$ , $\beta \in \left( {x - h,x} \right)$ , $\gamma \in \left( {x,x + h} \right)$ ,

такви да важи

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}} + \frac{{f```\left( \gamma \right) - f```\left( \beta \right)}}{6}{h^2}.$

$f`\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}} - \frac{{{f^{IV}}\left( \alpha \right)}}{{12}}{h^2}.$

Као апроксимација другог извода узима се

$Df\left( x \right) = \frac{{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)}}{{{h^2}}}.$

Кад је функција позната само у појединим тачкама, на пример из мерења, извод се рачуна приближно из суседних вредности на растојању $h$ . Количник унапред је $D^+f(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , количник уназад $D^-f(x) = \frac{f(x) - f(x - h)}{h}$ , а централни $D^0f(x) = \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ .

Грешка прва два је реда $h$ , а централног реда $h^2$ : кад се корак преполови, грешка централног количника смањи се око четири пута, а код прва два само двапут. Зато је централни количник по правилу тачнији. Други извод се приближно рачуна као $\frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}$ . Пазите: превише мало $h$ није добро кад су подаци измерени са грешком, јер се грешка мерења дели малим бројем.

Корак h2

Унапред D⁺: 0,2247
Централни D⁰: 0,2588
Тачно f′(4): 0,25

Крива је

f(x) = \sqrt x

, а црна права тангента у

x = 4

, са нагибом

f'(4) = 0{,}25

. Љубичаста сечица има нагиб

D^+

, а зелена

D^0

. Смањујте

h

: обе се приближавају тангенти, али зелена много брже, јер је њена грешка реда

h^2

Из узастопних GPS положаја брзина се процењује управо овим количницима, а програми за симулације и обраду мерења њима замењују изводе.

Брзина тркача

Сат са GPS пријемником бележи пређени пут тркача сваке 2 секунде. Измерено је $s(10) = 38{,}0$ m, $s(12) = 46{,}2$ m и $s(14) = 54{,}8$ m. Процените брзину тркача у тренутку $t = 12$ s количником унапред, уназад и централним количником, као и његово убрзање.

Решење

Корак је $h = 2$ s. Унапред: $D^+ = \frac{54{,}8 - 46{,}2}{2} = 4{,}3$ m/s. Уназад: $D^- = \frac{46{,}2 - 38{,}0}{2} = 4{,}1$ m/s.
Централни количник: $D^0 = \frac{54{,}8 - 38{,}0}{2 \cdot 2} = \frac{16{,}8}{4} = 4{,}2$ m/s. То је аритметичка средина претходна два и најпоузданија процена.
Убрзање је други извод: $\frac{54{,}8 - 2 \cdot 46{,}2 + 38{,}0}{2^2} = \frac{0{,}4}{4} = 0{,}1$ m/s².

Одговор: Брзина тркача у 12. секунди је око 4,2 m/s, тј. око 15 km/h, а тркач благо убрзава, око 0,1 m/s².

Задатак за вежбу

Израчунајте количник унапред и централни количник за $f(x) = \sqrt x$ у тачки $x = 4$ са кораком $h = 0{,}1$ и упоредите их са тачном вредношћу $f'(4)$ .

Прикажи решење

$D^+ = \frac{\sqrt{4{,}1} - 2}{0{,}1} \approx 0{,}2485$ и $D^0 = \frac{\sqrt{4{,}1} - \sqrt{3{,}9}}{0{,}2} \approx 0{,}25002$ . Тачно је $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt 4} = 0{,}25$ , па централни количник греши око $0{,}00002$ , а количник унапред око $0{,}0015$ .