Извод функције задате параметарски

Нека је функција $y = f\left( x \right)$ задата у параметарском облику

$x = x\left( t \right)$ , $y = y\left( t \right)$ , $t \in \left[ {{t_1},{t_2}} \right]$ ,

и нека је $x\left( {{t_1}} \right) = a$ , $x\left( {{t_2}} \right) = b$ .

Ако су функције $x\left( t \right)$ и $y\left( t \right)$ диференцијабилне на интервалу $\left( {{t_1},{t_2}} \right)$ , онда је и функција $y = f\left( x \right)$ диференцијабилне на интервалу $\left( {a,b} \right)$ и важи:

$y`\left( x \right) = \frac{{y`\left( t \right)}}{{x`\left( t \right)}}$

Кад је крива задата параметарски, $x = x(t)$ и $y = y(t)$ , обе координате зависе од параметра $t$ , најчешће времена. Ако су $x(t)$ и $y(t)$ диференцијабилне и $x'(t) \ne 0$ , извод од $y$ по $x$ је количник извода по параметру: $y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ . Није потребно изражавати $y$ преко $x$ .

Тај количник је нагиб тангенте у тачки $(x(t), y(t))$ . Тангента је водоравна где је $y'(t) = 0$ , а усправна где је $x'(t) = 0$ . Пазите на редослед: у бројиоцу је извод од $y$ , а у имениоцу извод од $x$ . Други извод није $\frac{y''(t)}{x''(t)}$ , већ се добија као $\frac{(y'(x))'_t}{x'(t)}$ , тј. први извод се поново диференцира по $t$ и дели са $x'(t)$ .

Време0,5 s

x′(t): 15 m/s
y′(t): 5 m/s
Нагиб y′(x): 0,333
Угао са тлом: 18,4°

Стрелица показује правац лета, вектор

(x'(t), y'(t))

, а њен нагиб је

\frac{y'(t)}{x'(t)}

. У

t = 1

s стрелица је водоравна, то је врх путање, а после тога показује надоле.

Путање лопте, дрона или робота задају се параметарски по времену, а програми за цртање користе параметарске Безијеове криве; нагиб из ове формуле даје правац кретања у сваком тренутку.

Путања шутиране лопте

Фудбалер шутира лопту са тла. После $t$ секунди лопта је у тачки $x(t) = 15t$ , $y(t) = 10t - 5t^2$ , где је $x$ водоравно растојање, а $y$ висина у метрима. Под којим углом у односу на тло лопта лети у тренутку $t = 0{,}5$ s? Где је највиша тачка путање и под којим углом лопта пада на тло?

Решење

$x'(t) = 15$ и $y'(t) = 10 - 10t$ , па је нагиб путање $y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{10 - 10t}{15}$ .
За $t = 0{,}5$ нагиб је $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ , а угао $\operatorname{arctg}\frac{1}{3} \approx 18{,}43^\circ$ .
Највиша тачка је тамо где је нагиб нула: $10 - 10t = 0$ , тј. $t = 1$ s, у тачки $(15, 5)$ .
Лопта је поново на тлу кад је $y = 0$ , за $t = 2$ s, на $x = 30$ m. Тада је нагиб $\frac{10 - 20}{15} = -\frac{2}{3}$ , а угао $\operatorname{arctg}\frac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ$ испод хоризонтале.

Одговор: После 0,5 s лопта се пење под углом од око 18,4°. Највиша је на 15 m од места шута, на висини од 5 m, а пада 30 m од њега под углом од око 33,7°.

Задатак за вежбу

Елипса је задата са $x = 4\cos t$ , $y = 3\sin t$ . Нађите нагиб тангенте у тачки за $t = \frac{\pi}{4}$ и једначину те тангенте.

Прикажи решење

$y'(x) = \frac{3\cos t}{-4\sin t} = -\frac{3}{4}\operatorname{ctg} t$ , па је за $t = \frac{\pi}{4}$ нагиб $-\frac{3}{4}$ . Тачка је $\left(2\sqrt 2, \frac{3\sqrt 2}{2}\right)$ , а тангента $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt 2$ .

Извод функције задате параметарски

Укратко

Пратите лопту у лету

Пример из живота

Путања шутиране лопте

Решење

Задатак за вежбу