Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Логаритамски извод

Нека је ff дифереренцијабилна функција за x∈D(f)x \in D\left( f \right). Извод функције ln⁡f\ln f, у тачки x0{x_0} тј.

(ln⁡f)‘∣x=x0=f‘f∣x=x0{\left. {\left( {\ln f} \right)`{|_{x = {x_0}}} = \frac{{f`}}{f}} \right|_{x = {x_0}}}

назива се логаритамски извод функције ff, у тачки x0{x_0}.

Логаритамски извод функције ff је извод њеног логаритма: (ln⁡f)′=f′f(\ln f)' = \frac{f'}{f}. Он показује релативну брзину промене, тј. колики део своје вредности функција добија или губи по јединици аргумента.

Користи се на два начина. Кад је функција производ или количник више чинилаца, логаритам их претвара у збир, па је (uvw)′uvw=u′u+v′v+w′w\frac{(uvw)'}{uvw} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w}. Кад се xx јавља и у основи и у изложиоцу, y=u(x)v(x)y = u(x)^{v(x)}, логаритмује се, ln⁡y=vln⁡u\ln y = v\ln u, диференцирају обе стране и резултат помножи са yy. Тако је за y=xxy = x^x извод y′=xx(ln⁡x+1)y' = x^x(\ln x + 1). Не заборавите последњи корак: извод од ln⁡y\ln y је y′y\frac{y'}{y}, а не y′y'.

0,511,522,513579xyxˣln f
1,5
Логаритамски извод f′/f
1,405
Извод f′
2,582
Плава крива је f(x)=xxf(x) = x^x, а зелена њен логаритам ln⁡f=xln⁡x\ln f = x\ln x. Нагиб тангенте на зелену криву је логаритамски извод f′f=ln⁡x+1\frac{f'}{f} = \ln x + 1. Где је он нула, у x=1e≈0,37x = \frac{1}{e} \approx 0{,}37, функција xxx^x има минимум, јер је f′=f⋅f′ff' = f \cdot \frac{f'}{f}, а f>0f > 0.

Економисти логаритамским изводом рачунају стопе раста: стопа раста прихода једнака је збиру стопа раста броја купаца и просечног рачуна, а стопа раста реалне плате разлици стопа раста плате и цена.

Приход продавнице

Продавница има k(t)=200+10tk(t) = 200 + 10t купаца дневно, а просечан рачун је s(t)=1500+30ts(t) = 1500 + 30t динара, где је tt број месеци од отварања. Дневни приход је R=k⋅sR = k \cdot s. Колика је месечна стопа раста прихода R′R\frac{R'}{R} у тренутку t=0t = 0?

Решење

  1. Логаритмујемо производ: ln⁡R=ln⁡k+ln⁡s\ln R = \ln k + \ln s.
  2. Диференцирамо обе стране: R′R=k′k+s′s\frac{R'}{R} = \frac{k'}{k} + \frac{s'}{s}, тј. стопе раста се сабирају.
  3. За t=0t = 0 је k′k=10200=0,05\frac{k'}{k} = \frac{10}{200} = 0{,}05 и s′s=301500=0,02\frac{s'}{s} = \frac{30}{1500} = 0{,}02, па је R′R=0,07\frac{R'}{R} = 0{,}07.
  4. Провера без логаритма: R(0)=200⋅1500=300 000R(0) = 200 \cdot 1500 = 300\,000 динара, R′(0)=10⋅1500+200⋅30=21 000R'(0) = 10 \cdot 1500 + 200 \cdot 30 = 21\,000 динара месечно, а 21 000300 000=0,07\frac{21\,000}{300\,000} = 0{,}07.

Одговор: Дневни приход на почетку расте 7% месечно: 5% због више купаца и 2% због већих рачуна.

Задатак за вежбу

За f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) израчунајте f′(0)f'(0) помоћу логаритамског извода.

Прикажи решење

f′f=1x+1+1x+2+1x+3\frac{f'}{f} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}, па је f′(0)f(0)=1+12+13=116\frac{f'(0)}{f(0)} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}. Како је f(0)=6f(0) = 6, добијамо f′(0)=6⋅116=11f'(0) = 6 \cdot \frac{11}{6} = 11.