Матрице

Матрица $A$ типа $m \times n$ над пољем $\mathbb{K}$ је правоугаона шема елемената из поља $\mathbb{K}$ која има $m$ врста и $n$ колона

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]$ .

Елементи ${a_{ij}} \in \mathbb{K} \quad \left( {i = 1,2,...,m, \quad j = 1,2,...,n} \right)$ су елементи марице $A$ и пише се $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ или само $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]$ , ако је јасно ког је фомата матрица $A$ . Елемент ${a_{ij}}$ налази се у $i$ -тој врсти и $j$ -тој колони матрице $A$ .

Елементи ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{im}}$ образују $i$ -ту врсту, а елементи ${a_{i1}},{a_{i2}},...,{a_{mj}}$ $j$ -ту колону матрице $A$ .

Матрица типа $n \times n$ назива се квадратна матрица реда $n$ . Елементи ${a_{11}},{a_{22}},...,{a_{nn}}$ чине главну дијагоналу, а елементи ${a_{1n}},{a_{2\left( {n - 1} \right)}},...,{a_{n1}}$ споредну дијагоналу квадратне матрице реда $n$

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]$ .

Транспонована матрица

Транспонована матрица матртрице $A = \left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}$ је матрица ${A^\top} = {\left[ {{a_{ji}}} \right]_{n \times m}}$ , односно ${A^\top}$ се добија када у матрици $A$ врсте постану колоне и обратно

${A^\top} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{21}}}& \cdots &{{a_{m1}}} \\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{m2}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{1n}}}&{{a_{2n}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]$ .

Особине операције транспоновања

${\left( {{A^\top}} \right)^\top} = A,$
${\left( {A + B} \right)^\top} = {A^\top} + {B^\top},$
${\left( {\alpha A} \right)^\top} = \alpha {A^\top},\quad \alpha \in \mathbb{K}$
${\left( {AB} \right)^\top} = {B^\top}{A^\top},$
$\left( {{A_1}{A_2}...{A_K}} \right)^\top = A_k^\top A_{k - 1}^\top...A_1^\top.$

Једнакост матрица

Матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{p \times q}}$ су једнаке ако и само ако су истог типа, тј. $m = p$ и $n = q$ и ако

${a_{ij}} = {b_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,n.$

Нула матрице

Матрица чији су елементи 0 назива се нула матрица и означава се са $O$ .

$O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0}&{0}& \cdots &{0} \\ {0}&{0}& \cdots &{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {0}&{0}& \cdots &{0} \end{array}} \right]$

Јединична матрица

Квадратна матрица реда $n$ чији су сви елементи на главној дијагонали јединице, а остали нуле, назива се јединична матрица и означава се са ${E_n}$ или само $E$ , ако је јасно ког је реда.

$E=E_n = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1}&{0}& \cdots &{0} \\ {0}&{1}& \cdots &{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {0}&{0}& \cdots &{1} \end{array}} \right]_{n \times n}$

Операције са матрицама

Сабирање матрица

Нека су матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ истог типа. Збир $A + B$ матрица $A$ и $B$ је матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ , таква да је

${c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m, \quad j = 1,2,...,n.$

Нека је $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ матрица над пољем $\mathbb{K}$ и $s \in \mathbb{K}$ . Производ скалара $s$ и матрице $A$ је матрица $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ таква да је

${b_{ij}} = s{a_{ij}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,n.$

Овај производ се означава са $sA$ или са $s \cdot A$ .

Разлика матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ је матрица $C = A + sB$ , где је $s = - 1$ , тј.

$C = A - B.$

Неке особине сабирања матрица

У скупу матрица истог типа над пољем $\mathbb{K}$ важи:

$\quad A + O = O + A = A$ ,
$\quad A + \left( {B + C} \right) = \left( {A + B} \right) + C$ ,
$\quad A + \left( { - A} \right) = \left( { - A} \right) + A = O$ ,
$\quad A + B = B + A$ ,
$\quad s\left( {A + B} \right) = sA + sB,\quad s \in \mathbb{K}$ ,
$\quad s\left( {tA} \right) = \left( {st} \right)A,\quad s,t \in \mathbb{K}$ ,
$\quad 1 \cdot A = A$ .

Множење матрица

Производ матрица $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ и $B = {\left[ {{b_{ij}}} \right]_{n \times p}}$ је матрица $C = {\left[ {{c_{ij}}} \right]_{m \times p}}$ , таква да је

$\begin{array}{*{20}{c}} { c_{ij} = {a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} + \cdot \cdot \cdot + {a_{in}} \cdot {b_{nj}} } \\ { \quad = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{b_{kj}}}, \quad i = 1,2,...,m; \quad j = 1,2,...,p. } \end{array}.$

Производ матрица $A$ и $B$ означава се са $AB$ .

Неке особине множења матрица

Под предпоставком да су наведени производи дефинисани, важи:

$\quad A\left( {BC} \right) = \left( {AB} \right)C,$
$\quad A\left( {B + C} \right) = AB + AC,$
$\quad \left( {B + C} \right)A = BA + CA,$
$\quad s\left( {AB} \right) = \left( {sA} \right)B = A\left( {sB} \right),$
$\quad AE = EA = A.$

Субматрица матрице

Субматрица матрице $A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$ је матрица ${\left[ {{a_{{i_p}{j_q}}}} \right]_{r \times s}}, \quad 1 \leqslant r \leqslant m, \quad 1 \leqslant s \leqslant n,$ коју чине елементи ${a_{{i_p}{j_q}}}$ матрице $A$ , који се налазе у пресеку $r$ врста $\left\{ {{i_1},{i_2},...,{i_r}} \right\}$ и $s$ колона $\left\{ {{j_1},{j_2},...,{j_s}} \right\}$ ове матрице, узети у индукованом распореду. Ако је $r = s$ , субматрица је квадратна матрица реда $r$ .