Непознати појмови и значење речи

Математички термини и појмови често имају веома прецизна и специфична значења која се разликују од њихове употребе у свакодневном говору. Разумевање ове „математичке азбуке” кључ је за успешно решавање задатака и савладавање градива.

У основној школи ученици се ослањају на градиво претходних разреда, нема много нових појмова, готово да нема уопште непознатих појмова кад радите математику и брзина усвајања тог градива је мања, односно спорија него у средњој школи. То је веома важно разумети, то је прва промена. Друга промена је што вам у средњој школи градиво постаје сложеније. Сложеније очекује се од вас да за разлику од основне школе, где је лепо описан модел, слушам лекцију, урадим неколико задатака, пред контролни и поновим, у средњој школи ви се за почетак сусрећете са непознатим појмовима. Важна препорука је да ученици обрате пажњу на значење речи. Врло често се у значењу тог појма, семантици, крије суштина. То је навика коју нећете усвојити сутра, али кад осетите колико то може да буде корисно и колико онда то прави трајно знање и разумевање за релативно кратко време, мислим да ћете тај модел учења много чешће користити.

Семантика у математици даје значење и интерпретацију апстрактним симболима и формалним системима, повезујући чисту синтаксу (правила писања формула) са стварним математичким објектима и концептом истинитости. Док се синтакса бави искључиво тиме како се симболи комбинују према одређеним дедуктивним правилима, семантика одговара на питање шта ти симболи заправо представљају (нпр. скупове, функције, бројеве) и под којим условима је нека тврдња тачна.

Сваки непознати појам треба дефинисати и описати својим речима. На пример: домен је област дефинисаности функције (питамо се да ли постоји неки број за који та функција нема вредност), а кодомен је скуп вредности функције.

У првом разреду средњих школа највећи проблем задају термини пресликавање 1-1, НА и бијекција. Ученицима настаје збрка у глави, а тек кад све то треба да примене онда и свеопшта нервоза. Идемо корак по корак:

Пресликавање је 1-1 (чита се „један један“) ако различити елементи првог скупа одлазе у различите елементе другог скупа. Не сме се десити да се два различита елемента споје у исти.

Пример из живота: Сваки човек седи на својој столици. Не постоје две особе које седе на истој столици. Неке столице могу остати празне, али то не квари правило 1-1.

Линеарна функција је 1-1, а квадратна није, пошто код квадратне функције два различита х-а дају исти резултат.

Пресликавање је НА ако су сви елементи из другог скупа погођени (заузети). Скуп у који пресликавамо мора бити потпуно испуњен, односно нема „вишка” елемената.

Пример из живота: Све столице у просторији су заузете. Нема ниједне празне столице. Дозвољено је да на некој столици седи и двоје људи, важно је само да нема празних.

Основне тригонометријске функције које се периодично понављају, полиноми непарног степена и функције апсолутних вредности су НА функције. Различити х-еви дају исти y.

Пресликавање је бијекција (или обострано једнозначно пресликавање) ако је истовремено и „1-1” и „НА”.

То значи да је сваки елемент из првог скупа повезан са тачно једним елементом из другог скупа, и обратно – ниједан елемент није остао вишак, нити се ишта преклопило.

Пример из живота: Имамо групу људи и групу столица. Сваки човек седи на тачно једној столици, и све столице су попуњене. Број људи и број столица је потпуно једнак. То је савршено спаривање „пар по пар”.

Зашто је важна у гимназији? Само оне функције које су бијекције имају своју инверзну (повратну) функцију. Ако функција није бијекција, не можемо је „вратити уназад” (нпр. зато експоненцијална функција има свој логаритам, јер је бијекција).

На овом примеру је детаљно објашњено како се нови појам тумачи сликовитим примерима из свакодневног живота и где се примењује у математици. Професор у школи тако треба да објашњава, а ученик што више рашчлањује и анализира дати појам. Да би се нови појам усвојио и применио МОРА да буде СВЕ ЈАСНО, не смеју остати недоумице. Ученик не треба да клима главом да му је јасно ако то није, већ да од професора тражи и пети и десети начин тумачења ако треба док се не прихвати нови појам. Кад једном све буде појмовно прихваћено све је даље ствар вежбе!