Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Трикови за брзо решавање задатака на пријемном испиту из математике за ФТН

Игор Тасић,

Брзо и тачно решавање задатака на пријемном испиту из математике на ФАКУЛТЕТУ ТЕХНИЧКИХ НАУКА (ФТН) не захтева само теоријско знање, већ и овладавање тактичким пречицама које штеде време.

Ефикасни трикови за уштеду времена

  • Елиминација одговора: Тестирајте понуђене вредности убацивањем у почетну једначину или систем.
  • Специјални случајеви: Уместо општих променљивих n или x, уврстите једноставне бројеве попут 0, 1 или 2.
  • Градијент и симетрија: Код геометријских и тригонометријских задатака често постоји симетрија која елиминише нереалне опције.

Најчешће области и конкретне пречице

1. Алгебарски изрази и растављање

Када се тражи поједностављивање компликованог рационалног израза, најбржи трик је метода узорковања. Изаберите произвољне вредности за променљиве (нпр. x = 2, y = 3), израчунајте вредност почетног израза, а затим исто урадите за понуђене одговоре. Одговор који даје исти резултат је тачан.

2. Квадратне једначине и Вијетове формуле

Избегавајте комплетно решавање квадратне једначине преко дискриминанте D ако се у задатку траже изрази попут x₁² + x₂² или 1/x1 + 1/x2. Директно примените Вијетове формуле:
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
Тражени израз трансформишите тако да садржи само збир и производ корена. На пример, квадрирањем збира добијате:
x₁² + x₂² =(x1+x2)2-2x1x2.

−11357−4−224680xyy = ax² + bx + cx₁x₂
1
−5
6
Дискриминанта D
1
x₁ + x₂ = −b/a
5
x₁ · x₂ = c/a
6
x₁² + x₂² по Вијету
13
x₁² + x₂² из корена
13
Збир и производ корена читају се директно из коефицијената, x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} и x1x2=cax_1 x_2 = \frac{c}{a}, без дискриминанте. За x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 то су 5 и 6, па је x12+x22=52−2⋅6=13x_1^2 + x_2^2 = 5^2 - 2 \cdot 6 = 13, исто као 22+322^2 + 3^2. Кад је D<0D < 0, корени нису реални и последњи ред остаје празан, иако формуле и даље дају бројеве.

3. Логаритамске и експоненцијалне једначине

Код логаритама прво дефинишите домен функције. Често се дешава да од 4 понуђена решења само једно или два уопште припадају домену, што вам омогућава да одмах елиминишете нетачне одговоре без икаквог рачунања.

4. Тригонометрија

Ако задатак захтева доказивање идентитета или проналажење вредности тригонометријског израза за сваки угао α, уврстите карактеристичан угао за који лако знате вредности функција, као што су α = 0, α=π/4 или α=π/2. Пазите само да дељење нулом не дефинише израз.

Стратегија полагања испита

  • Први круг: Решите све задатке које знате у року од 30 секунди. Не губите време на тешке задатке на почетку.
  • Контрола грешака: Приликом рада са неједначинама, увек проверите граничне вредности интервала убацивањем тих бројева у почетни израз.
  • Скицирање графика: Код планиметрије, стереометрије и аналитичке геометрије, прецизна и читка скица на папиру често сама открива решење или елиминише очигледно нетачне опције.

Ево још напредних трикова и математичких пречица које искусни кандидати користе на пријемном испиту за ФТН како би уштедели драгоцено време.

Напредне пречице по областима

1. Аритметички и геометријски низови

Ако се у задатку тражи збир првих n чланова неког низа у општем облику (где су одговори изражени преко n), најбржи трик је тестирање малих вредности.

  • Убаците n = 1. Збир првог члана је заправо сам први члан S₁ = a₁. Проверите који од понуђених одговора даје ту вредност.
  • Ако више одговора даје исти резултат, убаците n = 2 и израчунајте збир прва два члана (S₂ = a₁ + a₂).

2. Аналитичка геометрија (права и круг)

Ако се тражи једначина тангенте на круг из неке тачке, или пресек две праве:

  • Провера тачке: Свака права (или тангента) која пролази кроз задату тачку мора да задовољава њене координате. Пре било каквог рачунања убаците координате тачке у понуђене једначине правих из одговора. Обично одмах елиминишете 2 до 3 нетачна одговора.
  • Удаљеност центра: Не заборавите да је растојање од центра кружнице C(p,q) до тангенте увек једнако полупречнику r. Уместо компликованих система, искористите брзу формулу за удаљеност тачке од праве.

3. Комплексни бројеви

Код задатака са високим степенима комплексних бројева (нпр. (1+i)²⁰²⁶), никада не рачунајте директно.

  • Свођење на квадрат: Прво израчунајте квадрат израза. Важи да је (1+i)² = 2i и (1-i)² = -2i.
  • Затим почетни израз трансформишите као ((1+i)2)1013= (2i)1013, што се много брже решава уз помоћ периодичности имагинарне јединице (i¹=i, i²=-1, i³=-i, i⁴=1).

−3−2−112−2−1120xyzz²
Модуо |z|
1,41
Модуо |z²| = |z|²
2
Угао од z
45°
Угао од z²
90°
Квадрирање удвостручује угао и квадрира модуо: 1+i1 + i има модуо 2\sqrt{2} и угао 45∘45^\circ, па је (1+i)2(1 + i)^2 на углу 90∘90^\circ, са модулом 2, тј. (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i. Зато је (1+i)2026=(2i)1013=21013 i1013=21013 i(1 + i)^{2026} = (2i)^{1013} = 2^{1013}\, i^{1013} = 2^{1013}\, i, јер је 1013=4⋅253+11013 = 4 \cdot 253 + 1.

4. Полиноми и Безуов став

Ако се у задатку тражи остатак при дељењу полинома P(x) са неким линеарним чланом (x - a), не делите полиноме.

  • Примените Безуов став: Остатак дељења је једнак вредности полинома у тачки a, односно R = P(a).
  • Ако је полином дељив са (x - a), тада је P(a) = 0, што вам одмах даје једначину за проналажење непознатих коефицијената (нпр. параметара m или n).

5. Планиметрија и стереометрија (геометрија)

Када су у задатку дате само опште пропорције (нпр. „висина ваљка је дупло већа од полупречника основе”), а тражи се однос запремина или површина:

  • Уведите конкретне бројеве: Узмите да је r = 1, па је тада висина H = 2. Израчунајте тражени однос са овим конкретним вредностима. Однос ће бити идентичан као да сте радили са општим формулама, али је шанса за рачунску грешку минимална.

Психолошки трик: Стратегија „Шок-апсорбера”

Када отворите тест, прва 2-3 задатка могу деловати изузетно тешко. То је чест трик састављача теста да унесу панику.

  • Прескочите почетак: Ако не знате прва три задатка, одмах пређите на средину или крај теста. Испит на ФТН-у често садржи лакше задатке из прогресија, комбинаторике или логаритама који су смештени у другој половини теста. Када решите неколико лакших, добићете самопоуздање и мозак ће ући у „математички мод”.