Ранг матрице

Детерминанта субматрице $k$ -тог реда матрице $A$ назива се минор $k$ -тог реда матрице $A$ .

Ранг матрице $A$ је највећи природни број $r$ , за који постоји минор матрице $A$ реда $r$ , различит од нуле, док су сви минори матрице $A$ , реда вишег од $r$ , ако постоје, једнаки нули.

Минори реда $r$ , где је $r$ ранг матрице $A$ , који су различити од нуле називају се базичним минорима матрице $A$ .

Минор $k$ -тог реда матрице $A$ је детерминанта њене квадратне субматрице од $k$ врста и $k$ колона. Ранг $r(A)$ је највећи ред минора различитог од нуле: постоји минор реда $r$ који није нула, а сви минори вишег реда, ако постоје, једнаки су нули. Зато за матрицу типа $m \times n$ важи $r(A) \leq \min(m, n)$ .

Пребројавање свих минора је споро. Брже је елементарним трансформацијама врста, које не мењају ранг, свести матрицу на степенасти облик: ранг је број врста које нису нула-врсте. Ранг говори колико је врста заиста независно. Систем је сагласан ако матрица система и проширена матрица имају исти ранг. Пазите: један минор једнак нули још ништа не доказује.

D =

122133

D= 1·1·2 + 2·1·3 + 1·2·3− 1·1·3 − 1·1·3 − 2·2·2= 2 + 6 + 6 − 3 − 3 − 8= 0

Детерминанта D = 0.

Детерминанта: 0
Минор из прве две врсте и колоне: −3
Ранг матрице: 2

Трећа врста је збир прве две, па је детерминанта нула, а минор

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3

није: ранг је 2. Промените било који елемент треће врсте: детерминанта више није нула, ранг је 3 и цене би биле јединствено одређене. Упишите у другу и трећу врсту умношке прве и ранг пада на 1.

Ранг показује колико је података заиста независно: инжењер њиме проверава да ли мерења дају довољно једначина за све непознате, а статистичар открива колоне табеле које понављају исту информацију.

Три рачуна из пекаре

Јелена жели да из рачуна сазна цене хлеба, кифле и бурека. Има три рачуна: хлеб, две кифле и бурек за 330 дин.; два хлеба, кифла и бурек за 340 дин.; три хлеба, три кифле и два бурека за 670 дин. Одредите ранг матрице система и објасните да ли су цене тиме одређене.

Решење

Са $x$ , $y$ , $z$ означимо цене хлеба, кифле и бурека. Матрица система је $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ .
Од друге врсте одузмемо двоструку прву, а од треће троструку прву: обе постају $(0, -3, -1)$ .
Кад од треће врсте одузмемо другу, добијамо нула-врсту. Остају две врсте које нису нула-врсте, па је $r(A) = 2$ . Исто показују минори: $\det A = 0$ , а $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$ .
И слободни чланови се слажу: $330 + 340 = 670$ , јер је трећи рачун збир прва два. Зато и проширена матрица има ранг 2, па је систем сагласан.
Ранг 2 је мањи од броја непознатих, 3, па систем има бесконачно много решења.

Одговор: Ранг је 2: трећи рачун не доноси нову информацију, па Јелена из ова три рачуна не може јединствено да одреди цене.

Задатак за вежбу

Одредите ранг матрице $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

Прикажи решење

Друга врста је двострука прва, па је детерминанта нула и ранг није 3. Минор од прве и треће врсте и прве две колоне је $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ , па је ранг 2.

Ранг матрице

Укратко

Промените трећу врсту

Пример из живота

Три рачуна из пекаре

Решење

Задатак за вежбу