Инверзне тригонометријске функције

Функције инверзне функцијама

\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\sin x} \\ {\cos x} \\ {{\text{tg}}x} \\ {{\text{ctg}}x} \end{array}} \right\}

на интервалу

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]} \\ {\left[ {0,\pi } \right]} \\ {\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)} \\ {\left( {0,\pi } \right)} \end{array}} \right\}$

називају се

аркус синус
аркус косинус
аркус тангенс
аркус котангес

и означавају са

${\text{ }}\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{\text{arc}}\sin x} \\ {\arccos x} \\ {{\text{arctg }}x} \\ {{\text{arcctg }}x} \end{array}} \right\}$

Основне особине

	${\text{arc}}\sin x$	$\arccos x$	${\text{arctg }}x$	${\text{arcctg }}x$
Домен	$\left[ { - 1,1} \right]$	$\left[ { - 1,1} \right]$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Кодомен	$\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$	$\left[ {0,\pi } \right]$	$\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)$	$\left[ {0,\pi } \right]$
Монотоност	расте	опада	расте	опада
Нуле	$0$	$1$	$0$	-
Превојне тачке	$0$	$0$	$0$	$0$
Асимтоте: $x \to \infty$	-	-	$\frac{\pi }{2}$	$0$
Асимтоте: $x \to - \infty$	-	-	$- \frac{\pi }{2}$	$\pi$

$thx = \frac{{shx}}{{chx}}$ , ${\text{c}}thx = \frac{{chx}}{{shx}}$ , $schx = \frac{{thx}}{{shx}}$ , ${\text{ }}cshx = \frac{{cthx}}{{chx}}$ ,

${\text{c}}{{\text{h}}^2}x - {\text{s}}{{\text{h}}^2}x = 1$ , ${\text{sc}}{{\text{h}}^2}x + {\text{t}}{{\text{h}}^2}x = 1$ ,

${\text{ct}}{{\text{h}}^2}x - {\text{csc}}{{\text{h}}^2}x = 1$ , ${\text{ th}}xc{\text{th}}x = 1$ .

Тригонометријске функције нису обострано једнозначне, па се њихове инверзне функције дефинишу на интервалима на којима строго расту или опадају: $\sin x$ на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ , $\cos x$ на $[0, \pi]$ , $\operatorname{tg} x$ на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ и $\operatorname{ctg} x$ на $(0, \pi)$ . Тако $\arcsin x$ и $\arccos x$ имају домен $[-1, 1]$ , а $\operatorname{arctg} x$ и $\operatorname{arcctg} x$ цео $\mathbb{R}$ . Функције $\arcsin x$ и $\operatorname{arctg} x$ расту, $\arccos x$ и $\operatorname{arcctg} x$ опадају, а $\operatorname{arctg} x$ има хоризонталне асимптоте $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$ .

Вредност $\arcsin x$ је угао из $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ чији је синус $x$ : $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$ . Важи $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ . Пазите: $\arcsin(\sin x) = x$ само за $x$ из тог интервала, па је $\arcsin\left(\sin \frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$ .

Вредност u0,9

arcsin u: 1,1198
arcsin u у степенима: 64,2°
arccos u: 0,451
arcsin u + arccos u: 1,5708

Тачке

P

Q

симетричне су у односу на праву

y = x

P

лежи на графику

\arcsin x

, а

Q

на графику синуса сведеног на

\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]

. Приметите да је збир

\arcsin u + \arccos u

увек

\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708

Кад су познате дужине, а тражи се угао, рачуна се инверзном тригонометријском функцијом: тако се одређују нагиб рампе или крова, угао под којим стоје мердевине и смер кретања у GPS навигацији.

Мердевине уз зид

Мердевине дуге 5 m прислоњене су уз зид куће, а подножје им је 1,5 m од зида. Под којим углом према тлу стоје мердевине? За безбедан рад препоручује се угао од око $75^\circ$ : колико далеко од зида тада треба да буде подножје?

Решење

Мердевине, зид и тло чине правоугли троугао. Мердевине су хипотенуза од 5 m, а растојање од зида је катета од 1,5 m налегла на угао $\alpha$ уз тло.
$\cos \alpha = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3$ , а угао из $[0, \pi]$ са тим косинусом је $\alpha = \arccos 0{,}3$ .
Калкулатор даје $\arccos 0{,}3 \approx 1{,}2661$ , што је у степенима $\alpha \approx 72{,}5^\circ$ .
За $\alpha = 75^\circ$ подножје треба да буде на $5 \cdot \cos 75^\circ \approx 1{,}29$ m од зида.

Одговор: Мердевине стоје под углом од око 72,5° према тлу, а за угао од 75° подножје треба примаћи на око 1,3 m од зида.

Задатак за вежбу

Рампа за колица на улазу у школу издиже се 0,5 m на хоризонталној дужини од 6 m. Помоћу функције $\operatorname{arctg}$ израчунајте угао нагиба рампе.

Прикажи решење

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{0{,}5}{6} \approx 0{,}0833$ , па је $\alpha = \operatorname{arctg} 0{,}0833 \approx 0{,}0831$ , односно око $4{,}76^\circ$ .