Линеарна алгебра

Системи линеарних једначина

Линеарна једначина са непознатом ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ је једначина облика

${a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = b,$

где су ${a_1},{a_2},...{a_n}$ реални бројеви, које називамо коефицијентима једначине, а $b$  је реалан број који називамо слободан члан једначине.

Ако је $b = 0$ , горњу jедначину називамо хомогена линеарна једначина.

Систем од $m$ линеарних једначина са $n$ непознатих ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ је систем:

 

${a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{1n}}{x_n}{\text{   }} = {b_1},$

${a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{2n}}{x_n}{\text{   }} = {b_2},$

.
.
.

${a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{mn}}{x_n}{\text{   }} = {b_m},$


Где су ${a_{ij}},{b_i}\left( {i = 1,2,...,m;{\text{ }}j = 1,2,...,n} \right)$ реални бројеви.

  1. Систем линеарних једначина је сагласан (могућ, конзистентан) ако има бар једно решење. Уколико систем нема ни једно решење, он је противречан (контрадикторан, немогућ, несагласан).
    Сагласан систем је одређен ако има једно и само једно решење, а неодређен ако има више од једног решења.
  2. Два система линеарних једначина су еквивалентна, ако и само ако је свако решење првог система решење другог и обрнуто, свако решење друго система је решење првог.
    За два противречна система каже се да су еквивалентна.


Крамерово правило
Ако је детерминаната

$D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}} \\
{{a_{21}}}&{{a_2}_2}& \cdots &{{a_{2n}}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right|$

система линеарних једначина

 

${a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{1n}}{x_n}{\text{   }} = {b_1},$

${a_{21}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{2n}}{x_n}{\text{   }} = {b_2},$

.
.
.

${a_{n1}}{x_1} + {a_{n2}}{x_2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {a_{nn}}{x_n}{\text{   }} = {b_n},$

различита од нуле, онда тај систем има јединствено решење

$${x_1} = \frac{{{D_1}}}{D},\quad {x_2} = \frac{{{D_2}}}{D},...,{x_n} = \frac{{{D_n}}}{D},$$

где је ${D_i},{\text{ }}i = 1,2,...,n$, детерминанта која се добија од детерминанте $D$ заменом $i$-те колоне колоном коју чине слободни чланови система.
Ако је $D = 0$ и бар једна од детерминанти ${D_i}$ различита од нуле, онда је систем противречан. 
Ако је $D = {D_i} = 0,{\text{ }}i = 1,2,...,n$, онда систем може бити неодређен или противречан.

  

Часови математике за ђаке и студенте. Припрема за пријемне испите.