Нумерички и графички прикази функција
Степене функције
Линеарна функција
Линеарна функција је облика
$y = ax + b,{\text{ }}a \ne 0$
- Домен функције: $\mathbb{R}$.
- Парност функције: Ако је $b = 0$, функција је непарна.
- Нула функције: $x = - \frac{b}{a}$.
- Знак функције: Ако је $a > 0$, онда је функција позитивна за $z > - \frac{b}{a}$.
- Монотоност функције: За $a > 0$, функција је строго растућа, а за $a < 0$, строго опадајућа, на целом домену.
Квадратна функција
$y = a{x^2} + bx + c,{\text{ }}a \ne 0$
- Домен функције: $\mathbb{R}$
- Парност функције: Ако је $b = 0$, функција је парна.
- Нуле функције: У зависности од вредности дискриминанте $D = {b^2} - 4ac$, функција може имати две, једну или ниједну реалну нулу.
$D > 0{\text{ }}{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$
$D = 0{\text{ }}x = \frac{{ - b}}{{2a}}$
$D < 0$ нема реалних нула - Знак функције: Ако функција има две нуле, тада у њима мења знак. У супротном не мења знак.
- Екстремуми функције: За $a > 0$ функција има минимум, а за $a < 0$ максимум. Екстремна вредност је
$y = \frac{{4ac - {b^2}}}{{4a}}$
и добија се за $x = \frac{{ - b}}{{2a}}$. - Интеграли монотоности: $\left( { - \infty , - \frac{b}{{2a}}} \right)$ и $\left( { - \frac{b}{{2a}},\infty } \right)$.
Ако је $a < 0$, онда је функција у првом интервалу строго растућа, а у другом строго опадајућа. Ако је $a > 0$, важи обрнуто. - Конвексност и конкавност функције: Ако је $a > 0$, функција је конвексна, а ако је $a < 0$, онда је конкавна на целом домену.
Степена функција
$y = {x^\alpha },{\text{ }}\alpha \in \mathbb{R}$
Случај $\alpha = n,{\text{ }}n \in \mathbb{N}$:
- Домен функције: $\mathbb{R}$.
- Парност функције: Ако је $n$ паран број, функција је парна, а ако је $n$ непаран, функција је непарна.
- Нуле функције: $x = 0$.
- Знак функције: Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна у скупу $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна за $x > 0$, а негативна за $x < 0$.
- Екстремуми функције: Ако је $n$ паран број, функција има минимум у тачки $0$.
- Интервали монотоности функције: Ако је $n$ паран број, функција опада за $x < 0$ и расте за $x > 0$. Ако је $n$ непарно, функција расте на целом домену.
- Конкавност функције: Ако је $n$ паран број, функција је конвексна на целом домену. Ако је $n$ непаран број, функција је конкавна за $x < 0$ и конвексна за $x > 0$.
Случај $\alpha = - n,{\text{ }}n \in \mathbb{N}$
- Домен функције: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.
- Парност функције: Ако је $n$ паран број, функција је парна, а ако је $n$ непаран, функција је непарна.
- Нуле функције: Нема.
- Знак функције: Ако је $n$ паран број, функција је позитивна у скупу $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ако је $n$ непаран број, функција је позитивна за $x > 0$, а негативна за $x < 0$.
- Екстремуми функције: Нема.
- Интервали монотоности: Ако је $n$ паран број, функција расте за $x < 0$ и опада за $x > 0$. Ако је $n$ непарно, функција опада на целом домену.
- Конкавност функције: Ако је $n$ непаран број, функција је конкавна за $x > 0$.
- Асимптоте функције: Хоризинтална асимптота $y = 0$, и вертикална асимптота $x = 0$.