Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль (00) или бесконечность делить на бесконечность (∞∞).
Формулировка правила Лопиталя
Пусть f и g — функции, дифференцируемые в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и пусть при x→x0 эти функции обе стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. В таком случае, если отношение их производных f′(x)g′(x) имеет предел при x→x0, то это же предел будет иметь и отношение самих функций f(x)g(x), т.е.lim
Или другими словами. Если \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) или \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{\infty }{\infty }} \right) и если функции f и g – дифференцируемы в окрестности точки {x_0}, то \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f’\left( x \right)}}{{g’\left( x \right)}} В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа \left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty — \infty } \right),\left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right). Первые две неопределенности \left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty — \infty } \right) можно свести к типу \left( {\frac{0}{0}} \right) или \left( {\frac{\infty }{\infty }} \right) с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности \left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right) сводятся к типу \left( {0 \cdot \infty } \right) с помощью соотношения
f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}
Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.
