Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля.

(О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция  y=f(x)y = f\left( x \right)

  1. непрерывна на отрезке [a;b]\left[ {a;b} \right] ;
  2. дифференцируема на интервале (a;b)\left( {a;b} \right);
  3. на концах отрезка [a;b]\left[ {a;b} \right]  принимает равные значения f(a)=f(b)f\left( a \right) = f\left( b \right) .

Тогда на интервале (a;b)\left( {a;b} \right)  найдется, по крайней мере, одна точка x0{{x_0}}, в которой f′(x0)=0f'\left( {{x_0}} \right) = 0.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если f(a)=f(b)=0f\left( a \right) = f\left( b \right) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа.

(О конечных приращениях)

Пусть функция y=f(x)y = f\left( x \right)

  1. непрерывна на отрезке [a;b]\left[ {a;b} \right];
  2. дифференцируема на интервале (a;b)\left( {a;b} \right).

Тогда на интервале (a;b)\left( {a;b} \right) найдется по крайней мере одна точка x0{{x_0}}, такая, что

f′(x0)=f(b)−f(a)b−af'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}.

Теорема Коши.

(Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции y=f(x)y = f\left( x \right) и y=g(x)y = g\left( x \right):

  1. непрерывны на отрезке [a;b]\left[ {a;b} \right];
  2. дифференцируемы на интервале (a;b)\left( {a;b} \right);
  3. производная g′(x)≠0g'\left( x \right) \ne 0  на интервале (a;b)\left( {a;b} \right),

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка x0{{x_0}}, такая, что

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(x0)g′(x0)\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( b \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( {{x_0}} \right)}}{{g'\left( {{x_0}} \right)}}

Формула Тейлора

Пусть функция y=f(x)y = f\left( x \right) (n+1)(n+1) — раз дифференцируема на интервале (a−b,a+b),b>0\left( {a - b,a + b} \right),b > 0. Тода для любого x,x0∈(a−b,a+b)x,{x_0} \in \left( {a - b,a + b} \right) справедливо

f(x)=f(x0)+f‘(x0)(x−x0)+f«(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + f`\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{f«\left( {{x_0}} \right)}}{{2!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + … + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( {{x_0}} \right)}}{{n!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^n} + {R_n}\left( x \right),

где

Rn(x)=f(n+1)(x0+τ(x−x0))(n+1)!(x−x0)n+1,τ∈(0,1).{R_n}\left( x \right) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( {{x_0} + \tau \left( {x - {x_0}} \right)} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {x - {x_0}} \right)^{n + 1}},\tau \in \left( {0,1} \right).

Другой вид теоремы Тейлора

Пусть f∈Cn+1[a,b]f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right] и пусть f(n+1)(x){f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( x \right) для x∈[a,b]x \in \left[ {a,b} \right]. Тогда существует τ∈(a,b)\tau \in \left( {a,b} \right) такое что

f(b)=f(a)+f‘(a)(b−a)+fn(a)2!(b−a)2+…+f(n)(a)n!(b−a)n+f(n+1)(τ)(n+1)!(b−a)n+1f\left( b \right) = f\left( a \right) + f`\left( a \right)\left( {b - a} \right) + \frac{{{f^n}\left( a \right)}}{{2!}}{\left( {b - a} \right)^2} + … + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}}{{n!}}{\left( {b - a} \right)^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {b - a} \right)^{n + 1}}.

Формула Маклорена

В формуле Тейлора положим x0=0{x_0} = 0. Тогда получим частный вид формулы Тейлора — формулу Маклорена.

Пусть f∈Cn+1[a,b]f \in {C^{n + 1}}\left[ {a,b} \right] и  0∈[a,b]0 \in \left[ {a,b} \right]. Тогда для любого x∈[a,b]x \in \left[ {a,b} \right] найдётся τ∈(a,b)\tau \in \left( {a,b} \right) такое что

f(x)=f(0)+f‘(0)x+f«(0)2!x2+⋅⋅⋅+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(τ)(n+1)!xn+1.f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + f`\left( 0 \right)x + \frac{{f«\left( 0 \right)}}{{2!}}{x^2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( 0 \right)}}{{n!}}{x^n} + \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( \tau \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{x^{n + 1}}.

Теорема Ролля: если ff непрерывна на [a;b][a; b], дифференцируема на (a;b)(a; b) и f(a)=f(b)f(a) = f(b), то найдётся точка x0∈(a;b)x_0 \in (a; b), в которой f′(x0)=0f'(x_0) = 0, т. е. касательная параллельна оси абсцисс. Теорема Лагранжа не требует f(a)=f(b)f(a) = f(b): найдётся x0x_0, в которой f′(x0)=f(b)−f(a)b−af'(x_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, т. е. касательная параллельна хорде. Теорема Ролля — её частный случай. Теорема Коши утверждает, что для двух таких функций при g′≠0g' \ne 0 найдётся x0x_0, в которой f′(x0)g′(x0)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}.

Формула Тейлора представляет функцию в виде многочлена и остаточного члена: f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x)f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x). При x0=0x_0 = 0 это формула Маклорена, например ex≈1+x+x22e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} при малых xx. Перед применением проверьте условия: для ∣x∣|x| на [−1;1][-1; 1] теорема Ролля неприменима, потому что в нуле функция не дифференцируема.

0,51,52,53,50,511,520xyAB
2,5
Наклон хорды AB
0,5
Наклон касательной f′(c)
0,316
Кривая — f(x)=xf(x) = \sqrt x на [0;4][0; 4], а хорда соединяет её концы. Передвигайте точку, пока касательная не станет параллельна хорде: тогда f′(c)f'(c) равно угловому коэффициенту хорды f(4)−f(0)4−0=0,5\frac{f(4) - f(0)}{4 - 0} = 0{,}5. Это происходит при c=1c = 1, а теорема Лагранжа утверждает, что такое cc существует всегда.

Теорема Лагранжа объясняет, почему измерение средней скорости на участке дороги выявляет превышение: если средняя скорость больше разрешённой, то хотя бы в один момент водитель ехал быстрее. Многочлены Тейлора лежат в основе приближённого вычисления таких функций, как sin⁡x\sin x и exe^x.

Скорость на участке дороги

Автомобиль на автомагистрали проезжает мимо первой камеры, а через 5 минут — мимо второй, на 12 км дальше. Ограничение скорости — 130 км/ч. Водитель утверждает, что ни в один момент не ехал быстрее. Возможно ли это?

Решение

  1. Пусть s(t)s(t) — пройденный путь. Эта функция непрерывна и дифференцируема, а s′(t)s'(t) — мгновенная скорость, которую показывает спидометр.
  2. По теореме Лагранжа найдётся момент t0∈(t1;t2)t_0 \in (t_1; t_2), в который s′(t0)=s(t2)−s(t1)t2−t1s'(t_0) = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}, т. е. мгновенная скорость равна средней.
  3. Время в пути 5 мин =112= \frac{1}{12} ч, поэтому средняя скорость равна 121/12=144\frac{12}{1/12} = 144 км/ч.
  4. Значит, в момент t0t_0 мгновенная скорость была ровно 144 км/ч, больше разрешённых 130 км/ч.

Ответ: Это невозможно: по теореме Лагранжа хотя бы в один момент водитель ехал со скоростью ровно 144 км/ч.

Задача для тренировки

Найдите точку x0x_0 из теоремы Лагранжа для функции f(x)=x3f(x) = x^3 на отрезке [0;3][0; 3].

Показать решение

Угловой коэффициент хорды равен f(3)−f(0)3−0=273=9\frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{27}{3} = 9, а из f′(x0)=3x02=9f'(x_0) = 3x_0^2 = 9 следует x0=3≈1,73x_0 = \sqrt 3 \approx 1{,}73; эта точка лежит в (0;3)(0; 3).