Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет  место неопределенность вида ноль делить на ноль (00)\left( {\frac{0}{0}} \right) или бесконечность делить на бесконечность (∞∞)\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right).

Формулировка правила Лопиталя

Пусть ff и gg — функции, дифференцируемые в некоторой окрестности точки x0{x_0}, за исключением, быть может, самой точки x0{x_0}, и пусть при x→x0x \to {x_0} эти функции обе стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. В таком случае, если отношение их производных  f′(x)g′(x)\frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}} имеет предел при x→x0x \to {x_0}, то это же предел будет иметь и отношение самих функций f(x)g(x)\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}, т.е.lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}.

Или другими словами. Если lim⁡x→x0f(x)g(x)=(00)\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{0}{0}} \right) или lim⁡x→x0f(x)g(x)=(∞∞)\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \left( {\frac{\infty }{\infty }} \right)  и если функции ff и gg – дифференцируемы в окрестности точки x0{x_0}, то lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}  В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа (0⋅∞),(∞−∞),(00),(1∞),(∞0).\left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty - \infty } \right),\left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right). Первые две неопределенности (0⋅∞),(∞−∞)\left( {0 \cdot \infty } \right),\left( {\infty - \infty } \right)  можно свести к типу (00)\left( {\frac{0}{0}} \right) или (∞∞)\left( {\frac{\infty }{\infty }} \right) с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности (00),(1∞),(∞0)\left( {{0^0}} \right),\left( {{1^\infty }} \right),\left( {{\infty ^0}} \right)  сводятся к типу (0⋅∞)\left( {0 \cdot \infty } \right) с помощью соотношения

f(x)g(x)=eg(x)ln⁡f(x)f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Правило Лопиталя раскрывает неопределённости вида 00\frac{0}{0} и ∞∞\frac{\infty}{\infty}: если ff и gg обе стремятся к нулю или обе к бесконечности, то lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}, при условии, что предел отношения производных существует. Числитель и знаменатель дифференцируют по отдельности, а не по правилу производной частного. Если неопределённость осталась, правило применяют ещё раз.

Неопределённости 0⋅∞0 \cdot \infty и ∞−∞\infty - \infty сначала приводят к дроби, например xln⁡x=ln⁡x1xx\ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}. Неопределённости вида 1∞1^\infty, 000^0 и ∞0\infty^0 раскрывают логарифмированием, пользуясь тождеством fg=egln⁡ff^g = e^{g\ln f}: находят предел показателя, и ответ равен ee в этой степени. Перед каждым применением проверьте, что неопределённость действительно есть: для lim⁡x→0cos⁡xx+1\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x + 1} правило дало бы 0, а верный ответ равен 1.

0,511,522,5−0,50,51,52,50xyf(x)g(x)
2
1,5
f(x) : g(x)
0,9242
f′(0) : g′(0)
2
Синяя кривая — f(x)=ln⁡(1+ax)f(x) = \ln(1 + ax), зелёная — g(x)=xg(x) = x. Обе стремятся к нулю при x→0x \to 0, поэтому f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} — неопределённость вида 00\frac{0}{0}. Приближайте xx к нулю: отношение приближается к отношению наклонов f′(0)g′(0)=a\frac{f'(0)}{g'(0)} = a, потому что вблизи нуля кривая ff почти совпадает со своей касательной. Это предел из примера, только с aa вместо 0,060{,}06.

Формулу непрерывного начисления процентов, (1+rn)n→er\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n \to e^r, можно вывести именно этим правилом, а инженеры применяют его, когда формула в какой-то точке даёт 00\frac{0}{0}, например при обработке сигналов.

Непрерывное начисление процентов

Банк предлагает 6% годовых. Если проценты начисляются nn раз в год, то 100 000 динаров через год превращаются в 100 000(1+0,06n)n100\,000\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right)^n. Сколько получилось бы при непрерывном начислении процентов, т. е. при n→∞n \to \infty?

Решение

  1. Предел L=lim⁡n→∞(1+0,06n)nL = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right)^n имеет вид 1∞1^\infty, поэтому прологарифмируем его: ln⁡L=lim⁡n→∞nln⁡(1+0,06n)\ln L = \lim_{n \to \infty} n\ln\left(1 + \frac{0{,}06}{n}\right).
  2. Заменой x=1nx = \frac{1}{n} получаем ln⁡L=lim⁡x→0ln⁡(1+0,06x)x\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 0{,}06x)}{x}, а это неопределённость вида 00\frac{0}{0}.
  3. По правилу Лопиталя дифференцируем числитель и знаменатель по отдельности: ln⁡L=lim⁡x→00,061+0,06x1=0,06\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{0{,}06}{1 + 0{,}06x}}{1} = 0{,}06.
  4. Значит, L=e0,06≈1,061837L = e^{0{,}06} \approx 1{,}061837, а сумма равна 100 000⋅e0,06≈106 183,65100\,000 \cdot e^{0{,}06} \approx 106\,183{,}65 динара.

Ответ: При непрерывном начислении сумма составила бы около 106 183,65 динара, всего на 183,65 динара больше, чем при начислении процентов раз в год.

Задача для тренировки

Вычислите lim⁡x→0(1+3x)1x\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}.

Показать решение

Неопределённость вида 1∞1^\infty. Предел ln⁡L=lim⁡x→0ln⁡(1+3x)x\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{x} имеет вид 00\frac{0}{0}, а по правилу Лопиталя lim⁡x→031+3x=3\lim_{x \to 0} \frac{3}{1 + 3x} = 3. Поэтому L=e3≈20,09L = e^3 \approx 20{,}09.