Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Непрерывно дифференцируемая функция

Непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями.

Рассматривают также дважды непрерывно дифференцируемые функции — функции имеющие непрерывную вторую производную.

Аналогично можно ввести понятие nn — раз непрерывно дифференцируемых функций.

Если класс непрерывных функций обозначают через CC, то класс непрерывно дифференцируемых функций обычно обозначают через C1{C^1}, класс nn раз непрерывно дифференцируемых функций обозначают через Cn{C^n}.

Таблица производных, производные основных элементарных функций

Функцияпроизводнаяфункцияпроизводная
 c(const)c\left( {const} \right)0 sin⁡x\sin x cos⁡x\cos x
 xn{x^n}nxn−1,n∈Nn{x^{n - 1}},n \in \mathbb{N} cos⁡x\cos x −sin⁡x- \sin x
 1x\frac{1}{x}−1x2- \frac{1}{{{x^2}}} tgx{\text{tg}}x 1cos⁡2x=sec⁡2x\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\sec ^2}x
 1xn\frac{1}{{{x^n}}} −nxn+1- \frac{n}{{{x^{n + 1}}}} ctg x{\text{ctg }}x 1sin⁡2x=−cos⁡ec2x\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \cos e{c^2}x
 xa{x^a} axa−1,a∈Ra{x^{a - 1}},a \in \mathbb{R} sec⁡ x\sec {\text{ }}x sin⁡xcos⁡2x\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}
 x\sqrt x 12x\frac{1}{{2\sqrt x }} cos⁡ec x\cos ec{\text{ }}x −cos⁡xsin⁡2x- \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}
 xn\sqrt[n]{x} 1nxn−1n\frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}} arcsin⁡x\arcsin x 11−x2\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}
 ex{e^x} ex{e^x} arccos x{\text{arccos }}x −11−x2\frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}
 ax{a^x} axln⁡a{a^x}\ln a arctg x{\text{arctg }}x 11+x2\frac{1}{{1 + {x^2}}}
 In xIn{\text{ }}x 1x\frac{1}{x} arcctg x{\text{arcctg }}x −11+x2\frac{{ - 1}}{{1 + {x^2}}}
 log⁡a∣x∣{\log _a}\left| x \right| 1xln⁡a=1xlog⁡ae,\frac{1}{{x\ln a}} = \frac{1}{x}{\log _a}e, arcsec x{\text{arcsec }}x 1xx2−1\frac{1}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}
 log⁡x\log x 1xlog⁡e≈0.4343x\frac{1}{x}\log e \approx \frac{{0.4343}}{x} arccos x{\text{arccos }}x −1xx2−1\frac{{ - 1}}{{x\sqrt {{x^2} - 1} }}
 sh xsh{\text{ }}x ch xch{\text{ }}x arcsh xarcsh{\text{ }}x 11+x2\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}
 ch xch{\text{ }}x sh xsh{\text{ }}x arcch xarcch{\text{ }}x 1x2−1\frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}
 th xth{\text{ }}x 1ch2x\frac{1}{{c{h^2}x}} arcth xarcth{\text{ }}x 11−x2\frac{1}{{1 - {x^2}}}
 cth xcth{\text{ }}x −1sh2x\frac{{ - 1}}{{s{h^2}x}} arccth xarccth{\text{ }}x −11−x2\frac{{ - 1}}{{1 - {x^2}}}
функцияnn-я производная
xm{x^m}m(m−1)(m−2)⋅⋅⋅(m−n+1)xm−nm\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {m - n + 1} \right){x^{m - n}}
для целых n>mn > m, nn-я производная равна 0
In xIn{\text{ }}x(−1)n−1(n−1)!xn{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n}}}
Ina xI{n_a}{\text{ }}x(−1)n−1(n−1)!xn⋅In a{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{{x^n} \cdot In{\text{ }}a}}
ekx{e^{kx}}knekx{k^n}{e^{kx}}
ax{a^x}(In a)nax{\left( {In{\text{ }}a} \right)^n}{a^x}
akx{a^{kx}}(k In a)nakx{\left( {k{\text{ }}In{\text{ }}a} \right)^n}{a^{kx}}
sin⁡ x\sin {\text{ }}xsin⁡(x+nπ2)\sin \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)
cos⁡ x\cos {\text{ }}xcos⁡(x+nπ2)\cos \left( {x + \frac{{n\pi }}{2}} \right)
sin⁡ kx\sin {\text{ }}kxknsin⁡(kx+nπ2){k^n}\sin \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)
cos⁡ kx\cos {\text{ }}kxkncos⁡(kx+nπ2){k^n}\cos \left( {kx + \frac{{n\pi }}{2}} \right)
sh xsh{\text{ }}xsh xsh{\text{ }}x для чётного nn, ch xch{\text{ }}x для нечётного nn
ch xch{\text{ }}xch xch{\text{ }}x для чётного nn, sh xsh{\text{ }}x для нечётного nn

Правила вычисления производных

  1. Функция дифференцируемая в точке x0{x_0}, непрерывна в этой точке.
  2. Пусть функции  ff и gg  имеют производные в точке x0{x_0}. Тогда функция αf+βg, α,β∈R\alpha f + \beta g,{\text{ }}\alpha ,\beta \in \mathbb{R}, дифференцируемая в точке x0{x_0} и справедливо правило(αf+βg)′∣x=x0=αf′(x0)+βg′(x0)\left( {\alpha f + \beta g} \right)'{|_{x = {x_0}}} = \alpha f'\left( {{x_0}} \right) + \beta g'\left( {{x_0}} \right).
  3. Пусть функции  ff и gg  имеют производные в точке x0{x_0}. Тогда функция f⋅gf \cdot g дифференцируемая в точке x0{x_0} и справедливо правило(f⋅g)‘∣x=x0=f‘(x0)⋅g(x0)+f(x0)⋅g‘(x0).{\left. {\left( {f \cdot g} \right)`} \right|_{x = {x_0}}} = f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right).
  4. Пусть функции  ff и gg  имеют производные в точке x0{x_0} и g(x0)≠0g\left( {{x_0}} \right) \ne 0.
    Тогда функция fg\frac{f}{g} дифференцируемая в точке x0{x_0} и справедливо правило(fg)‘∣x=x0=f‘(x0)⋅g(x0)−f(x0)⋅g‘(x0)(g(x0))2{\left. {{{\left( {\frac{f}{g}} \right)}^`}} \right|_{x = {x_0}}} = \frac{{f`\left( {{x_0}} \right) \cdot g\left( {{x_0}} \right) - f\left( {{x_0}} \right) \cdot g`\left( {{x_0}} \right)}}{{{{\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)}^2}}}

Функция nn раз непрерывно дифференцируема на промежутке DD, что записывают как f∈Cn(D)f \in C^n(D), если в каждой его точке у неё есть производная nn-го порядка и f(n)f^{(n)} непрерывна. Функции класса C1C^1 называют гладкими. Многочлены, exe^x, sin⁡x\sin x и cos⁡x\cos x принадлежат классу CnC^n при любом nn. Чем больше nn, тем условие строже: из f∈C2f \in C^2 следует f∈C1f \in C^1. Всякая дифференцируемая функция непрерывна, но не наоборот: ∣x∣|x| непрерывна в нуле, а производной там не имеет.

Производные находят по правилам (αf+βg)′=αf′+βg′(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g', (fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg', (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} и по таблице: (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}, (ex)′=ex(e^x)' = e^x, (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x. Частая ошибка — считать, что (fg)′=f′g′(fg)' = f'g'.

−2−1121230xyff′
0,4
1,5
f′(x)
1,2
f″(x)
0,8
Кривая — это f(x)=0f(x) = 0 при x≤0x \le 0 и f(x)=ax2f(x) = ax^2 при x>0x > 0, как дорога из примера. Зелёная линия — f′f': у первой производной нет скачка, поэтому ff принадлежит классу C1C^1. Включите f′′f'': в точке сопряжения она скачком меняется с 0 до 2a2a, поэтому ff не принадлежит классу C2C^2.

Проектировщики автомобильных и железных дорог вставляют между прямым участком и дугой окружности переходную кривую, чтобы кривизна не менялась скачком, т. е. чтобы трасса была класса C2C^2.

Сопряжение прямой и поворота

Проектировщик соединяет прямой участок дороги с поворотом. На плане (в метрах) край дороги задан так: f(x)=0f(x) = 0 при x≤0x \le 0 и f(x)=x2200f(x) = \frac{x^2}{200} при x>0x > 0. Проверьте, принадлежит ли ff классу C1C^1 и классу C2C^2 в окрестности точки сопряжения x=0x = 0.

Решение

  1. Левая производная в нуле равна 0, а правая — lim⁡x→0+x2/200x=lim⁡x→0+x200=0\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 / 200}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{200} = 0. Они равны, значит, f′(0)=0f'(0) = 0 существует: излома в месте сопряжения нет.
  2. Первая производная: f′(x)=0f'(x) = 0 при x≤0x \le 0 и f′(x)=x100f'(x) = \frac{x}{100} при x>0x > 0. Обе части стремятся к нулю при x→0x \to 0, поэтому f′f' непрерывна и f∈C1f \in C^1.
  3. Вторая производная равна 0 слева от точки сопряжения и 1100\frac{1}{100} справа, поэтому в нуле у неё скачок и f′′(0)f''(0) не существует: f∉C2f \notin C^2.
  4. Кривизна дороги в точке сопряжения определяется f′′f'', поэтому она скачком меняется с 0 до 0,010{,}01, что соответствует дуге радиуса 100 м. Водителю пришлось бы резко повернуть руль, поэтому между прямой и поворотом вставляют переходную кривую.

Ответ: Край дороги — функция класса C1C^1, потому что излома нет, но не класса C2C^2, потому что вторая производная в точке сопряжения скачком меняется с 0 до 0,010{,}01.

Задача для тренировки

Принадлежит ли функция f(x)=x∣x∣f(x) = x|x| классу C1C^1 на R\mathbb{R}? А классу C2C^2?

Показать решение

При x≥0x \ge 0 имеем f(x)=x2f(x) = x^2, а при x<0x < 0 — f(x)=−x2f(x) = -x^2, поэтому f′(x)=2∣x∣f'(x) = 2|x|, а это непрерывная функция: f∈C1f \in C^1. Функция 2∣x∣2|x| в нуле не имеет производной (f′′=2f'' = 2 справа и −2-2 слева), поэтому f∉C2f \notin C^2.