Производная параметрически заданной функции

Пусть функция $y = f\left( x \right)$ задана параметрически

$x = x\left( t \right)$ , $y = y\left( t \right)$ , $t \in \left[ {{t_1},{t_2}} \right]$ ,

и пусть $x\left( {{t_1}} \right) = a$ , $x\left( {{t_2}} \right) = b$ .

Если функции $x\left( t \right)$ и $y\left( t \right)$ дифференцируемы на интервале $\left( {{t_1},{t_2}} \right)$ , тогда и функция $y = f\left( x \right)$ дифференцируема на интервале $\left( {a,b} \right)$ и справедливо $y'\left( x \right) = \frac{{y'\left( t \right)}}{{x'\left( t \right)}}.$

Когда кривая задана параметрически, $x = x(t)$ и $y = y(t)$ , обе координаты зависят от параметра $t$ , чаще всего от времени. Если $x(t)$ и $y(t)$ дифференцируемы и $x'(t) \ne 0$ , производная $y$ по $x$ равна отношению производных по параметру: $y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ . Выражать $y$ через $x$ не нужно.

Это отношение — угловой коэффициент касательной в точке $(x(t), y(t))$ . Касательная горизонтальна там, где $y'(t) = 0$ , и вертикальна там, где $x'(t) = 0$ . Следите за порядком: в числителе производная $y$ , а в знаменателе производная $x$ . Вторая производная не равна $\frac{y''(t)}{x''(t)}$ : она находится как $\frac{(y'(x))'_t}{x'(t)}$ , т. е. первую производную снова дифференцируют по $t$ и делят на $x'(t)$ .

Время0,5 с

x′(t): 15 м/с
y′(t): 5 м/с
Наклон y′(x): 0,333
Угол с землёй: 18,4°

Стрелка показывает направление полёта, вектор

(x'(t), y'(t))

, а её наклон равен

\frac{y'(t)}{x'(t)}

. Через секунду после удара стрелка горизонтальна: это вершина траектории, а после этого она направлена вниз.

Траектории мяча, дрона или робота задают параметрически по времени, а графические программы используют параметрические кривые Безье; наклон из этой формулы показывает направление движения в каждый момент.

Траектория мяча после удара

Футболист бьёт по мячу, лежащему на земле. Через $t$ секунд мяч находится в точке $x(t) = 15t$ , $y(t) = 10t - 5t^2$ , где $x$ — расстояние по горизонтали, а $y$ — высота в метрах. Под каким углом к земле летит мяч в момент $t = 0{,}5$ с? Где наивысшая точка траектории и под каким углом мяч падает на землю?

Решение

$x'(t) = 15$ и $y'(t) = 10 - 10t$ , поэтому наклон траектории $y'(x) = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{10 - 10t}{15}$ .
При $t = 0{,}5$ наклон равен $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ , а угол $\operatorname{arctg}\frac{1}{3} \approx 18{,}43^\circ$ .
Наивысшая точка там, где наклон равен нулю: $10 - 10t = 0$ , т. е. при $t = 1$ с; это точка $(15, 5)$ .
Мяч снова касается земли, когда $y = 0$ , т. е. при $t = 2$ с, на расстоянии $x = 30$ м. Тогда наклон равен $\frac{10 - 20}{15} = -\frac{2}{3}$ , а угол $\operatorname{arctg}\frac{2}{3} \approx 33{,}69^\circ$ ниже горизонтали.

Ответ: Через 0,5 с мяч поднимается под углом около 18,4°. Выше всего он в 15 м от места удара, на высоте 5 м, а падает в 30 м от него под углом около 33,7°.

Задача для тренировки

Эллипс задан уравнениями $x = 4\cos t$ , $y = 3\sin t$ . Найдите угловой коэффициент касательной в точке, где $t = \frac{\pi}{4}$ , и уравнение этой касательной.

Показать решение

$y'(x) = \frac{3\cos t}{-4\sin t} = -\frac{3}{4}\operatorname{ctg} t$ , поэтому при $t = \frac{\pi}{4}$ угловой коэффициент равен $-\frac{3}{4}$ . Точка касания $\left(2\sqrt 2, \frac{3\sqrt 2}{2}\right)$ , касательная $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt 2$ .

Производная параметрически заданной функции

Кратко

Следите за полётом мяча

Пример из жизни

Траектория мяча после удара

Решение

Задача для тренировки