Функције

Ако су $A$ и $B$ два непразна скупа, функција или пресликавање скупа $A$ у скуп $B$ је сваки подскуп $f$ скупа $A \times B$ , у којем се свако $x \in A$ појављује тачно једанпут као прва компонента.

Ово се записује:

$f:A \to B$

Дакле, функција $f:A \to B$ је таква бинарна релација између елемената скупова $A$ и $B$ , тј. $f \subset A \times B$ , која задовољава следећа два услова:

скуп свих првих елемената уређених парова релације $f$ је скуп $A$ ,
важи импликација $\left( {\left( {x,y} \right) \in f \wedge \left( {x,z} \right) \in f} \right) \Rightarrow y = z$

Ако је $\left( {x,y} \right) \in f$ , онда се $x$ (прва компонента) назива оригинал, , а (друга $y$ компонента) слика. Пише се $y = f\left( x \right)$ .

Домен и кодомен

Скуп свих оригинала у кодомену функције $f$ зове се домен и означава се са $D\left( f \right)$ , а скуп свих слика зове се кодомен функције и озачава се са ${C_D}\left( f \right)$ .

Функција $f:A \to B$ је

"на" или сурјекција	ако	$\left( {\forall y \in B} \right)\left( {\exists x \in A} \right)\left( {y = f\left( x \right)} \right)$
"1-1" или инјекција	ако	$\left( {\forall {x_1},{x_2} \in A} \right)\left( {f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) \Rightarrow {x_1} = {x_2}} \right)$
бијекција	ако	је истивремено и "на" и "1-1"

Пермутација

Пермутација скупа $A$ је бијекција скупа $A$ на самог себе.

Инверзна функција

Ако је инверзна релација ${f^{ - 1}}$ функције $f$ такође функција, онда се каже да је ${f^{ - 1}}$ инверзна функција функције $f$ .

Композиција функција

Ако су $f:A \to B$ и $q:B \to C$ дате функције, функција $q \circ f:A \to C$ , дефинисана са

$\left( {q \circ f} \right)\left( x \right) = q\left( {f\left( x \right)} \right)$

назива се производ или композиција функција $f$ и $q$ .

Ако је $f:D\left( f \right) \to {C_D}\left( f \right)$ бијекција, онда постоји ${f^{ - 1}}$ и за свако $x \in D\left( f \right)$ и свако $y \in {C_D}\left( f \right)$ важи

$\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x$ , $\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( y \right) = y$

Задавање функције

Функција се задаје:

навођењем свих уређених парова
$f = \left\{ {\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right),....,\left( {{x_n},{y_n}} \right)} \right\}$
или
$f = \left( {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1}{\text{ }}{x_2}{\text{ }}...{\text{ }}{x_3}} \\ {{y_1}{\text{ }}{y_2}{\text{ }}...{\text{ }}{y_3}} \end{array}} \right)$
навођењем правила (формуле) по којем се за дати оригинал добија слика
$f = \left\{ {\left( {x,y} \right)|y = R\left( x \right)} \right\}$

Пише се $x \mapsto f\left( x \right) = R\left( x \right)$ или само $f\left( x \right) = R\left( x \right)$ , односно $y = R\left( x \right)$

Коначан и бесконачан скуп

Скуп је бесконачан ако постоји бијекција која га пресликава на неки његов прави подскуп. У противном, скуп је коначан.

Кардиналност скупа

За скупове $A$ и $B$ каже се да имају једнаке кардиналне бројеве (такође се каже да су еквивалентни или да имају једнаку моћ), ако постоји бијекција $f:A \to B$ , што се пише $card\left( B \right)$ или $|A| = |B|$ .
Кардинални број скупа $A$ је $n \in N$ , тј. $card\left( A \right) = n$ , ако и само ако постоји бијекција $f:A \to \left\{ {1,2,....,n} \right\}$ .

Пребројив и непреброив скуп

Бесконачан скуп је пребројив, ако постоји бијекција која га пресликава на скуп природних бројева. У противном скуп је непребројив.

Функција $f: A \to B$ сваком елементу $x \in A$ придружује тачно један елемент $y = f(x) \in B$ ; $x$ је оригинал, а $y$ слика. Функција је инјекција („1-1“) ако различити оригинали имају различите слике, односно ако из $f(x_1) = f(x_2)$ следи $x_1 = x_2$ . Функција је сурјекција („на“) ако је сваки $y \in B$ слика бар једног $x \in A$ . Бијекција је и једно и друго, и само она има инверзну функцију $f^{-1}$ , за коју је $f^{-1}(f(x)) = x$ .

Композиција $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ примењује прво $f$ , па $g$ , а у општем случају $g \circ f \neq f \circ g$ . Исти пропис са другим доменом даје другу функцију: $x \mapsto x^2$ на $\mathbb{R}$ није инјекција, а на $[0, +\infty)$ јесте.

Вредност y2

Број оригинала: 2

Функција је инјекција ако свака хоризонтална права сече њен график највише једном. Парабола

y = x^2

на

\mathbb{R}

то не испуњава. Кад дугметом „Домен [0, +∞)“ сузите домен, свака вредност има највише један оригинал, а за

y < 0

оригинала нема ни тада.

Конвертори јединица у телефону раде са бијекцијама: прерачун из степени Целзијуса у степене Фаренхајта и прерачун назад су функција и њена инверзна функција.

Рецепт из америчке куварице

Рецепт из америчке куварице каже да се колач пече на 350 степени Фаренхајта. Температура у степенима Целзијуса $x$ прерачунава се у Фаренхајте функцијом $f(x) = 1{,}8x + 32$ . Покажите да је $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ бијекција, нађите инверзну функцију и израчунајте на колико степени Целзијуса треба подесити рерну.

Решење

Инјекција: из $f(x_1) = f(x_2)$ , односно $1{,}8x_1 + 32 = 1{,}8x_2 + 32$ , следи $x_1 = x_2$ .
Сурјекција: за свако $y \in \mathbb{R}$ једначина $1{,}8x + 32 = y$ има решење $x = \frac{y - 32}{1{,}8}$ , па сваки $y$ има оригинал.
Пошто је $f$ бијекција, постоји $f^{-1}(y) = \frac{y - 32}{1{,}8}$ , и заиста $f^{-1}(f(x)) = \frac{1{,}8x + 32 - 32}{1{,}8} = x$ .
$f^{-1}(350) = \frac{350 - 32}{1{,}8} = \frac{318}{1{,}8} \approx 176{,}7$ .

Одговор: Рерну треба подесити на око 177 степени Целзијуса.

Задатак за вежбу

Такси наплаћује старт 300 дин. и 100 дин. по километру, па вожња од $x$ km кошта $c(x) = 100x + 300$ . Покажите да је $c: [0, +\infty) \to [300, +\infty)$ бијекција, нађите $c^{-1}$ и израчунајте колико сте километара прешли ако сте платили 1.450 дин.

Прикажи решење

Из $c(x_1) = c(x_2)$ следи $x_1 = x_2$ , а за свако $y \geq 300$ оригинал је $x = \frac{y - 300}{100} \geq 0$ . Зато је $c^{-1}(y) = \frac{y - 300}{100}$ и $c^{-1}(1450) = 11{,}5$ , дакле 11,5 km.

Функције

Укратко

Померите хоризонталну праву

Пример из живота

Рецепт из америчке куварице

Решење

Задатак за вежбу