Уравнение прямой

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве определяетя заданием какой-либо её фиксированной точки ${M_1}$ и вектора $\overrightarrow a \ne 0$ ( направляющего вектора), параллельного этой прямой.

Пусть $M$ — произвольная точка прямой, $\overrightarrow r$ — радиус-ветор этой точки $M$, а $\overrightarrow {{r_1}}$ радиус-ветор точки ${M_1}$. Тогда уравнение прямой имеет вид:

$\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_1}} + \lambda \overrightarrow a$

— векторное уравнение прямой.

где $\lambda \in \mathbb{R}$.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой, проходящих через точку ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и паралельной вектору $\overrightarrow a \ne 0$, с координатами $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, могут быть записаны следующим образом

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = {x_1} + \lambda {a_1}} \\ {y = {y_1} + \lambda {a_2}} \\ {z = {z_1} + \lambda {a_3}} \end{array}} \right.,{\text{ }}\lambda \in \mathbb{R}$.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$, лежащей на прямой и направляющий вектор $\overrightarrow a \ne 0$ с координатоми $\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующие формулы:

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}},{\text{ }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{{\text{a}}_3} \ne 0$,

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}},{\text{ z - }}{{\text{z}}_1} = 0,{\text{ }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} \ne 0,{\text{ }}{a_3} = 0$,

$\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}},{\text{ }}y - {y_1} = 0,{\text{ z - }}{{\text{z}}_1} = 0,{\text{ }}{a_1} \ne 0,{\text{ }}{a_2} = 0,{\text{ }}{a_3} = 0$.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через точки ${M_1}\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)$ и ${M_2}\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)$ можно записать:

1. $\overrightarrow r = \left( {{x_1}\overrightarrow i + {y_1}\overrightarrow j + {z_1}\overrightarrow k } \right) + \lambda \left( {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\overrightarrow i + \left( {{y_2} - {y_1}} \right)\overrightarrow j + \left( {{z_2} - {z_1}} \right)\overrightarrow k } \right)$, $\lambda \in \mathbb{R}$
2. параметричемкий вид$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {x = {x_1} + \lambda \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \\ {y = {y_1} + \lambda \left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \\ {z = {z_1} + \lambda \left( {{z_2} - {z_1}} \right)} \end{array}} \right\},\lambda \in \mathbb{R}$ 
3. канонический вид
   $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}$

Расстояние от точки до прямой в пространстве

1. Расстояние $d$ от точки ${M_0}$ с радиус-вектором $\overrightarrow {{r_0}}$, до прямой, заданной уравнением $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_1}} + \lambda \overrightarrow a$, вычисляется по формуле:
   $d = \left| {\frac{{\left( {\overrightarrow {{r_0}} - \overrightarrow {{r_{_1}}} } \right) \times \overrightarrow a }}{{\overrightarrow a }}} \right|$.
2. Расстояние $d$ от точки ${M_2}$ до прямой, заданной уравнением
   $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{y_2} - {y_1}} \\ {{a_2}} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{z_2} - {z_1}} \\ {{a_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{z_2} - {z_1}} \\ {{a_3}} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_2} - {x_1}} \\ {{a_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_2} - {x_1}} \\ {{a_1}} \end{array}\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{y_2} - {y_1}} \\ {{a_2}} \end{array}} \right|}^2}} }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} }}$.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Пересекающиеся прямые $l$ и ${l_1}$ образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Если прямые скрещиваются, то в углом между прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, который получается в результате параллельного переноса одной из прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую.

В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых.

1. Если прямые заданы уравнениями вида:
   $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_1}} + \lambda \overrightarrow a$ и $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_2}} + \lambda \overrightarrow b$.
   тогда угол $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:
   $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}$.
2. Если прямые заданы уравнениями вида:
   $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$
   и
   $\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}}$,
   тогда угол $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:
   $\cos \alpha = \left| {\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}} \right|$.

Расстояние между непараллельными прямыми в пространсте

Расстояние $d$ между непараллельными прямыми в пространсте вычисляется по формулам:

1. Если непараллельные прямые заданы уравнениями вида:
   $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_1}} + \lambda \overrightarrow a$ и $\overrightarrow r = \overrightarrow {{r_2}} + \lambda \overrightarrow b$
   то расстояние $d$  вычисляется по формуле:
   $d = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {{r_2}} - \overrightarrow {{r_1}} } \right)\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|}}$
2. Если непараллельные прямые заданы уравнениями вида:
   $\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{a_3}}}$
   и
   $\frac{{x - {x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{b_3}}}$
   то расстояние $d$  вычисляется по формуле:$d = \left| {\frac{{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_2} - {x_1}}&{{y_2} - {y_1}}&{{z_2} - {z_1}} \\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}} \\ {{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}}{{\sqrt {{{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a_2}}&{{a_3}} \\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a_3}}&{{a_1}} \\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a_1}}&{{a_2}} \\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}} }}} \right|$