Направленный отрезок

Под направленным отрезком $\overrightarrow {AB}$ в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка $A$ — называется его началом, а вторая — $B$ — его концом.

Направленные отрезки $\overrightarrow {AB}$ и $\overrightarrow {CD}$ равны (записывается $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ ), если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают и длины равны.

Отрезок, начало и конец которого совпадают имеет длину $0$ .

Направленный отрезок — это упорядоченная пара точек: первая точка — начало, вторая — конец. Поэтому $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ — не одно и то же, хотя отрезок один и тот же.

Два направленных отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ равны, если выполнены три условия: они лежат на одной или на параллельных прямых, их направления совпадают и длины равны. Тогда $ABDC$ — параллелограмм (если точки не лежат на одной прямой). В координатах проверить проще всего: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ тогда и только тогда, когда $x_B - x_A = x_D - x_C$ , и так же для $y$ и $z$ . Это равенство — отношение эквивалентности, а его классы эквивалентности — векторы. Частая ошибка — проверить только длину: отрезки одной длины, но противоположного направления не равны.

|AB|: 5
|CD|: 4,47
Угол между AB и CD: 10°

Направленные отрезки

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{CD}

равны, когда у них одинаковая длина, а угол между ними

0^\circ

: тогда

ABDC

— параллелограмм. Переместите

D

на другую сторону от

C

, и угол станет

180^\circ

, хотя длина останется прежней.

Параллельный перенос, т. е. перемещение предмета без поворота, сдвигает каждую его точку на один и тот же направленный отрезок. Так программы для проектирования и видеоигры перемещают объект целиком: смещение одной точки прибавляют ко всем остальным.

Контейнер на кране

Портовый кран перемещает контейнер, не поворачивая его. Система координат — на земле, ось $z$ направлена вверх, единица — метр. Один нижний угол контейнера из точки $A(2, 1, 0)$ попадает в точку $B(6, 4, 5)$ . Другой нижний угол был в точке $C(8, 1, 0)$ . Где он окажется после перемещения и на какое расстояние сместился каждый угол?

Решение

Без поворота каждый угол смещается на один и тот же направленный отрезок, поэтому ищем точку $D$ , для которой $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ .
Смещение точки $A$ по осям: $6 - 2 = 4$ , $4 - 1 = 3$ и $5 - 0 = 5$ .
То же смещение прибавляем к точке $C$ : $D(8 + 4, 1 + 3, 0 + 5) = D(12, 4, 5)$ .
Проверка: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ , так как у обоих разности координат $(6, 0, 0)$ , поэтому $ABDC$ — параллелограмм.
Смещение каждого угла: $|AB| = |CD| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ м.

Ответ: Второй угол попадает в точку $D(12, 4, 5)$ , а каждый угол контейнера сместился примерно на 7,07 м.

Задача для тренировки

Даны точки $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 5, 1)$ , $C(-2, 4, 0)$ и $D(0, 9, -1)$ . Верно ли, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ? А что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ?

Показать решение

Смещение от $A$ к $B$ — $(2, 5, -1)$ , от $C$ к $D$ — тоже $(2, 5, -1)$ , поэтому $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . От $D$ к $C$ смещение $(-2, -5, 1)$ : отрезки параллельны и равны по длине, но направлены противоположно, поэтому $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{DC}$ .

Направленный отрезок

Кратко

Сделайте два направленных отрезка равными

Пример из жизни

Контейнер на кране

Решение

Задача для тренировки