Векторы

Вектором называется направленнй отрезок $\overrightarrow {AB}$, точка $A$ — начало, точка $B$ — конец вектора.

Векторы обозначаются либо двумя большими буквами — своим началом и концом: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {XY} ,…$, либо одной малой буквой: $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,…,\overrightarrow x ,…$ .

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым вектором: $\overrightarrow {0}$.

Длиной (модулем) вектора $\overrightarrow {AB}$ называется расстояние между его началом и концом: $\left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ или $\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Единичный вектор, который одинаково направлен и лежит на параллельной прямой к вектору $\overrightarrow a$ обозначается $\overrightarrow {{a_0}}$.

Коллинеарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

Два коллинеарных вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ называются сонаправленными, если их направления совпадают. Два коллинеарных вектора  $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ называются противоположно направленными, если их направления противоположны.

Записывают вектор $- \overrightarrow a$, противоположно направлен вектору $\overrightarrow a$.

Нулевой вектор противоположен самому себе: $\overrightarrow 0 = - \overrightarrow 0$.

Для противоположно направленных векторов справедливо:

$\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 ,{\text{ }}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0,{\text{ }} - \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow a$

Сложение и вычитание векторов

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Для того чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из конца по­лу­чен­но­го век­то­ра от­ло­жить вто­рой век­тор, и по­стро­ить век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го – это и будет сумма двух век­то­ров.

Пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма

Чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить эти два век­то­ра и по­стро­ить на них па­рал­ле­ло­грамм. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щая из на­чаль­ной точки, и будет сум­мой за­дан­ных век­то­ров.

Свойства сложения векторов

Пусть $V$ множество всех векторов. Тогда для любых векторов $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ из $V$ справедливо:

1.  $\overrightarrow a + \overrightarrow b \in V$,
2.  $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$,
3.  $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a$,
4. $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \left( { - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow a = \overrightarrow 0$,
5.  $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$.

Вычитание векторов

Разность вектора $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ есть вектор $\overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ и обозначается $\overrightarrow a - \overrightarrow {b}$.

Умножение вектора на число

Произведением $\alpha \cdot \overline a$ вектора $\overline a$ на число $\alpha$  называется вектор $\overline b$, удовлетворяющий условиям:

1. $\overline b \parallel \overline a$
2. $\left| {\overline b } \right| = \left| \alpha \right|\left| {\overline a } \right|$
3. $\overline a \uparrow \uparrow \overline b ,$ если $\alpha > 0,$ и $\overline a \uparrow \downarrow \overline b ,$  если $\alpha < 0$

Если $\alpha = 0$ или $\overline a = \overline 0,$ то $\alpha \cdot \overline a = \overline 0$

Свойства умножения вектора на число:

$$\begin{aligned}&\left( {\alpha \pm \beta } \right) \cdot \overline a = \alpha \cdot \overline a \pm \beta \cdot \overline a \\ &\alpha \left( {\overline a \pm \overline b } \right) = \alpha \cdot \overline a \pm \alpha \cdot \overline b \\ &\alpha \cdot \left( {\beta \cdot \overline a } \right) = \left( {\alpha \cdot \beta } \right) \cdot \overline a = \beta \cdot \left( {\alpha \cdot \overline a } \right) \\ &1 \cdot \overline a = \overline a \\ &- 1 \cdot \overline a = - \overline a \\ &0 \cdot \overline a = \overline 0\end{aligned}$$

Деление вектора на число

Частное от деления вектора $\overrightarrow a$ на число $p \ne 0$ есть вектор:

$\frac{{\overrightarrow a }}{p} = \frac{1}{p}\overrightarrow a$.

Единичный вектор $\overrightarrow {{a_0}}$ вектора $\overline a$ можно получить, разделив вектор на его длину: если $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$, тогда:

 $\frac{{\overrightarrow a }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \overrightarrow {{a_0}} ,{\text{ }}\overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right|\overrightarrow {{a_0}}$.

Линейная комбинация векторов

Вектор

$\overrightarrow s = {p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} ,{\text{ }}{p_i} \in \mathbb{R},{\text{ }}\overrightarrow {{a_i}} \in V,{\text{ }}i = 1,2,…..,k,$

называется линейной комбинацией векторов $\overrightarrow {{a_i}} \in V$, $i = 1,2,….,k$.

Векторы $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,…{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}}$  линейно зависимы, если существуют числа ${p_1},{p_2},….,{p_k}$, не все одновременно равные нулю, такие что:

${p_1}\overrightarrow {{a_1}} + {p_2}\overrightarrow {{a_2}} + \cdot \cdot \cdot + {p_k}\overrightarrow {{a_k}} = \overrightarrow 0$.

В противном случае векторы $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,…{\text{ }},\overrightarrow {{a_k}}$ линейно независимы.

Модуль (длина) и орт вектора

В случае пространственной задачи модуль вектора $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_x}\overrightarrow k$ можно найти воспользовавшись следующей формулой:

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = a$

а орт вектора $\overrightarrow a$ —

$\overrightarrow {{a_0}} = \frac{1}{a} \cdot \overrightarrow a = \frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow i + \frac{{{a_y}}}{a}\overrightarrow j + a\frac{{{a_x}}}{a}\overrightarrow k$

или

$\overrightarrow {{a_0}} = \cos \alpha \overrightarrow i + \cos \beta \overrightarrow j + \cos \gamma \overrightarrow k$

где  $\alpha ,\beta ,\gamma$ углы, которые вектор $\overrightarrow a$ образует с осями координат $x,y,z$.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация.

Скалярным произведением двух векторов $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Свойства скалярного произведения векторов

Если $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \in V$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, тогда:

1. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a$
2. $\lambda \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b$
3. $\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c$
4. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$

Алгебраическая интерпретация.

Скалярным произведением двух векторов $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$.

Если $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k,}$, тогда:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}$

Ортогоналност вектора

Ненулевые векторы $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$ взаимно ортогональны (перпендикулярны), если

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0.$

Угол между векторами

Если $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$, тогда

$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}$,

$\cos \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{{a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} + {a_z}{b_z}}}{{\sqrt {a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt {b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} }}$.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора $\overrightarrow a$ на вектор $\overrightarrow b$ называется вектор $\overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b$, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от $\overrightarrow a$ к $\overrightarrow b$ вокруг вектора $\overrightarrow с$ осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора $\overrightarrow с$.

Свойства векторного произведения

Если $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \in V$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, тогда:

1. $\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|\sin \measuredangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$,
2. $\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow a = 0,{\text{ }}\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cdot \overrightarrow b = 0$,
3. $\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \overrightarrow b \times \overrightarrow a$,
4. $\lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) = \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b$,
5. $\overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) + \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow c } \right)$,
6. $\overrightarrow a \times \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) = 0$.

Формула для вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$ в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {\overrightarrow i }&{\overrightarrow j }&{\overrightarrow k } \\ {{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\ {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \end{array}} \right|$.

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора $\overrightarrow a$ на векторное произведение векторов $\overrightarrow b$ $\overrightarrow c$.

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение двух векторов $\overrightarrow a = {a_x}\overrightarrow i + {a_y}\overrightarrow j + {a_z}\overrightarrow k$ и $\overrightarrow b = {b_x}\overrightarrow i + {b_y}\overrightarrow j + {b_z}\overrightarrow {k}$ в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить по формуле:

$$\bar a \cdot \left[ {\bar b \times \bar c} \right] = \left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{a_x}}&{{a_y}}&{{a_z}} \\ {{b_x}}&{{b_y}}&{{b_z}} \\ {{c_x}}&{{c_y}}&{{c_z}} \end{array}} \right|$$

Свойства смешанного произведения векторов

• Модуль смешанного произведения трех векторов $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ и $\overrightarrow c$ равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

  V_парал = |a · [b × c]|

• Если смешанное произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти векторы компланарные (т.е. параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости).
• $$\overline a \cdot \left[ {\overline b \times \overline c } \right] = \overline b \cdot \left( {\overline a \cdot \overline c } \right) - \overline c \cdot \left( {\overline a \cdot \overline b } \right)$$
• $$\begin{aligned}&\overline a \cdot \left[ {\overline b \times \overline c } \right] = \overline b \cdot \left[ {\overline c \times \overline a } \right] = \overline c \cdot \left[ {\overline a \times \overline b } \right] = - \overline a \cdot \left[ {\overline c \times \overline b } \right] = \\ &= - \overline b \cdot \left[ {\overline a \times \overline c } \right] = - \overline c \cdot \left[ {\overline b \times \overline a } \right]\end{aligned}$$
• $$\overline a \cdot \left[ {\overline b \times \overline c } \right] + \overline b \cdot \left[ {\overline c \times \overline a } \right] + \overline c \cdot \left[ {\overline a \times \overline b } \right] = 0$$