Монотонность функции

Монотонность

Монотонная функция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает.

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

$f\left( x \right) \uparrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

$f\left( x \right) \downarrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Функция $y = f\left( x \right)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right)$ .

Функция $y = f\left( x \right)$ называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right)$ .

Связь монотонности функции с ее производной

Если производная функции $f'\left( x \right) > 0$ на некотором промежутке $X$ , то функция $y = f\left( x \right)$ возрастает на этом промежутке; если же $f'\left( x \right) < 0$ на промежутке $X$ , то функция $y = f\left( x \right)$ убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f'\left( {{x_0}} \right) \geqslant 0$ или не существует.

Условия монотонности функции

Функција $f$ , диференцијабилна на $\left[ {a,b} \right]$ , расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f'\left( x \right) \geqslant 0{\text{ }}\left( {f'\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за све $x \in \left( {a,b} \right)$ .

Ако при том не постоји интервал $\left( {\alpha ,\beta } \right) \subset \left( {a,b} \right)$ , таква да је $f'\left( x \right) = 0,{\text{ }}x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , онда функција $f$ строго расте (опада).

Функция $f$ строго возрастает на множестве $A$ , если для любых $x_1 < x_2$ из $A$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$ , и строго убывает, если $f(x_1) > f(x_2)$ . При нестрогих неравенствах $f(x_1) \leqslant f(x_2)$ и $f(x_1) \geqslant f(x_2)$ функцию называют соответственно неубывающей и невозрастающей. Строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

Чтобы доказать монотонность, для произвольных $x_1 < x_2$ определите знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ . Если у функции есть производная, то из $f'(x) > 0$ на промежутке следует, что функция там возрастает. Монотонность всегда относится к какому-то множеству: $\frac{1}{x}$ убывает на $(-\infty, 0)$ и на $(0, \infty)$ , но не на их объединении, так как $f(-1) < f(1)$ .

x₁−0,8

x₂0,6

x₂ − x₁: 1,4
f(x₂) − f(x₁): −3,472

Держите

x_1 < x_2

и следите за знаком разности

f(x_2) - f(x_1)

. Когда обе точки левее

x = -1

или правее

x = 1

, разность положительна и функция там возрастает. Когда обе на

(-1, 1)

, разность отрицательна и функция убывает. Поэтому

f

не монотонна на всей прямой, а только на этих промежутках.

Прейскуранты и тарифы, как правило, — неубывающие функции: долгая парковка не дешевле короткой, а за большее потребление электроэнергии не платят меньше, чем за меньшее.

Стоимость парковки

Гараж берёт 120 динаров за первый начатый час и по 100 динаров за каждый следующий начатый час. За стоянку длительностью $t$ часов, $0 < t \leqslant 8$ , плата равна $c(t) = 120 + 100(\lceil t \rceil - 1)$ , где $\lceil t \rceil$ — наименьшее целое число, не меньшее $t$ . Является ли функция $c$ строго возрастающей? Сколько стоят 3 часа 20 минут парковки?

Решение

При $t_1 = 1{,}2$ и $t_2 = 1{,}8$ имеем $t_1 < t_2$ , но $c(t_1) = c(t_2) = 120 + 100 = 220$ . Условие $c(t_1) < c(t_2)$ не выполняется, поэтому $c$ не является строго возрастающей.
Если $t_1 < t_2$ , то $\lceil t_1 \rceil \leqslant \lceil t_2 \rceil$ , поэтому $c(t_1) \leqslant c(t_2)$ : плата никогда не уменьшается, функция неубывающая.
3 часа 20 минут — это $t = 3\frac{1}{3}$ , поэтому $\lceil t \rceil = 4$ и $c = 120 + 100 \cdot 3 = 420$ динаров.

Ответ: Функция стоимости неубывающая, но не строго возрастающая, а 3 часа 20 минут парковки стоят 420 динаров.

Задача для тренировки

Докажите по определению, что $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на $(0, \infty)$ , и сравните $f(-1)$ и $f(1)$ .

Показать решение

При $0 < x_1 < x_2$ имеем $f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$ , поэтому $f$ убывает. Однако $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ , поэтому на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ функция $f$ не является убывающей.

Монотонность функции