Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Ограниченность функции

Функция y=f(x)y = f\left( x \right), определенная на множестве XX, называется ограниченной сверху, если множество её значений ограниченно сверху. Иначе говоря, функция ff ограничена сверху, если существует такая постоянная ММ, что для каждого x∈Xx \in X выполняется неравенство f(x)⩽M.f\left( x \right) \leqslant M.

Функция y=f(x)y = f\left( x \right), определенная на множестве ХХ, называется ограниченной снизу, если множество её значений ограниченно снизу, то есть, если существует такая постоянная mm, что для каждого x∈Xx \in X выполняется неравенство m⩽f(x).m \leqslant f\left( x \right).

Функция y=f(x)y = f\left( x \right), определенная на множестве XX, называется ограниченной, если множество её значений ограниченно как сверху, так и снизу.

Функция ff ограничена снизу на множестве XX, если существует число mm такое, что f(x)⩾mf(x) \geqslant m для всех x∈Xx \in X, и ограничена сверху, если существует MM такое, что f(x)⩽Mf(x) \leqslant M. Функция ограничена, если верно и то и другое, т. е. если существует KK, при котором ∣f(x)∣⩽K|f(x)| \leqslant K. Тогда весь график лежит в полосе между прямыми y=my = m и y=My = M.

Например, sin⁡x\sin x ограничена числами −1-1 и 11, а x2x^2 — только снизу. Граница не обязательно достигается: 2x2^x ограничена снизу нулём, но никогда не равна нулю. Ограниченность зависит и от множества: 1x\frac{1}{x} на (0,1)(0, 1) не ограничена сверху, а на [1,∞)[1, \infty) ограничена.

246820406080t (ч)TmMTP
15°C
70°C
2 ч
T(t₀)
49,77°C
M − T(t₀)
20,23°C
Кривая начинается на нижней границе mm и приближается к прямой y=My = M, но никогда её не касается: разность M−T(t0)M - T(t_0) остаётся положительной. Весь график лежит в полосе между двумя прямыми.

Ограниченность гарантирует, что модель остаётся в реальных пределах: температура воды в бойлере не превышает установленную, а автомобиль с ограничителем скорости не разгоняется выше заданной скорости.

Вода в бойлере

Вода в бойлере нагревается от начальных 15∘C15^\circ\mathrm{C}, и её температура через tt часов приближённо равна T(t)=70−55e−0,5tT(t) = 70 - 55e^{-0{,}5t} градусов Цельсия. Докажите, что функция TT ограничена на [0,∞)[0, \infty), и найдите её границы. Какой будет температура через 2 часа?

Решение

  1. При t⩾0t \geqslant 0 имеем 0<e−0,5t⩽10 < e^{-0{,}5t} \leqslant 1: показательная функция всегда положительна, а при t=0t = 0 получаем e0=1e^0 = 1.
  2. Умножив на −55-55 и прибавив 70, получаем 15⩽T(t)<7015 \leqslant T(t) < 70.
  3. Значит, TT ограничена снизу числом m=15m = 15 и сверху числом M=70M = 70. Нижняя граница достигается при t=0t = 0, а верхняя — никогда.
  4. T(2)=70−55e−1≈70−20,23=49,77T(2) = 70 - 55e^{-1} \approx 70 - 20{,}23 = 49{,}77.

Ответ: Температура воды всегда между 15∘C15^\circ\mathrm{C} и 70∘C70^\circ\mathrm{C}, а через 2 часа она составит около 49,8∘C49{,}8^\circ\mathrm{C}.

Задача для тренировки

Ограничена ли функция f(x)=4x2+1f(x) = \frac{4}{x^2 + 1} на R\mathbb{R}? Если да, найдите её границы и проверьте, достигаются ли они.

Показать решение

Так как x2+1⩾1x^2 + 1 \geqslant 1, выполняется 0<4x2+1⩽40 < \frac{4}{x^2 + 1} \leqslant 4. Функция ограничена: m=0m = 0 не достигается, а M=4M = 4 достигается при x=0x = 0.