Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Точки перегиба

Точкой перегиба графика функции y=f(x)y = f\left( x \right)  называется точка M(x1;f(x1))M\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right), разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Пусть f:A→Bf:A \to B. Точка x0∈A{x_0} \in A точка перегиба функции ff если найдётся ε>0\varepsilon > 0 такое, что на (x0−ε,x0+ε)⊂A\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon } \right) \subset A и ff строго выпуклая на (x0−ε,x0)\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0}} \right) и строго вогнутая на (x0,x0+ε)\left( {{x_0},{x_0} + \varepsilon } \right), или обратно.

Точка x0x_0 — точка перегиба функции ff, если найдётся ε>0\varepsilon > 0 такое, что на (x0−ε,x0)(x_0 - \varepsilon, x_0) функция строго выпуклая, а на (x0,x0+ε)(x_0, x_0 + \varepsilon) строго вогнутая, или наоборот. Точка графика M(x0;f(x0))M(x_0; f(x_0)) разделяет промежутки выпуклости и вогнутости, а касательная в ней пересекает график: с одной стороны она над ним, с другой — под ним.

Если у ff есть вторая производная, точки перегиба ищите среди решений уравнения f′′(x)=0f''(x) = 0, а затем проверьте, меняет ли f′′f'' в них знак. Так, у x3x^3 точка перегиба в нуле есть, а у x4x^4 нет, хотя и для неё f′′(0)=0f''(0) = 0. Точка перегиба должна принадлежать области определения: если f′′f'' меняет знак в точке вне её, перегиба нет.

1020304050800120016002000xTTAP
12
T′(x₀)
22,72 тыс. дин.
T″(x₀)
−1,08
Слева от x=30x = 30 график выпуклый, касательная над ним, а затраты на ещё один стул T′(x0)T'(x_0) убывают. Справа график вогнутый, касательная под ним, а T′(x0)T'(x_0) растёт. В точке перегиба PP касательная пересекает график и T′′T'' меняет знак.

Точка перегиба показывает момент, когда рост меняет характер: распространение новости начинает замедляться или затраты на каждое следующее изделие перестают падать и начинают расти.

Затраты мастерской

Столярная мастерская делает в месяц xx стульев. Общие месячные затраты составляют T(x)=0,01x3−0,9x2+40x+600T(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}9x^2 + 40x + 600 тысяч динаров. Найдите точку перегиба функции TT и объясните, что она означает для мастерской.

Решение

  1. T′(x)=0,03x2−1,8x+40T'(x) = 0{,}03x^2 - 1{,}8x + 40 — это приближённо затраты на ещё один стул, а T′′(x)=0,06x−1,8T''(x) = 0{,}06x - 1{,}8.
  2. T′′(x)=0T''(x) = 0 при x=30x = 30. При x<30x < 30 имеем T′′(x)<0T''(x) < 0 (график выпуклый), а при x>30x > 30 имеем T′′(x)>0T''(x) > 0 (график вогнутый), поэтому x=30x = 30 — точка перегиба.
  3. T(30)=270−810+1200+600=1260T(30) = 270 - 810 + 1200 + 600 = 1260, значит, точка перегиба графика — (30;1260)(30; 1260).
  4. До 30 стульев каждый следующий стул обходится дешевле, а после — дороже. Дешевле всего он как раз в точке перегиба: T′(30)=27−54+40=13T'(30) = 27 - 54 + 40 = 13 тысяч динаров.

Ответ: Точка перегиба — (30;1260)(30; 1260): при 30 стульях в месяц затраты на один дополнительный стул наименьшие, около 13 000 динаров, а дальше затраты растут всё быстрее.

Задача для тренировки

Найдите точки перегиба функции f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2.

Показать решение

f′′(x)=12x2−12=0f''(x) = 12x^2 - 12 = 0 при x=±1x = \pm 1. Вторая производная в этих точках меняет знак (она положительна при ∣x∣>1|x| > 1 и отрицательна при ∣x∣<1|x| < 1), поэтому точки перегиба — (−1;−5)(-1; -5) и (1;−5)(1; -5).