Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Окрестность точки

Окрестностью точки x0{x_0} радиуса ε,(ε<0)\varepsilon ,\left( {\varepsilon < 0} \right) называется множество всех действительных чисел xx таких, что ∣x−x0∣<ε\left| {x - {x_0}} \right| < \varepsilon

Обозначается U(x0)U\left( {{x_0}} \right)

Окрестность точки x0x_0 радиуса ε>0\varepsilon > 0 — это интервал (x0−ε,x0+ε)(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon), т. е. множество всех xx, для которых ∣x−x0∣<ε|x - x_0| < \varepsilon. Точка x0x_0 — центр окрестности, а ε\varepsilon — её радиус. Неравенство с модулем раскрывают так: ∣x−x0∣<ε  ⟺  x0−ε<x<x0+ε|x - x_0| < \varepsilon \iff x_0 - \varepsilon < x < x_0 + \varepsilon.

В более общем смысле окрестностью U(x0)U(x_0) называют любое множество, содержащее некоторую ε\varepsilon-окрестность этой точки, поэтому она не обязана быть симметричной. Так, [1,4][1, 4] — окрестность точки 2, но не точки 1, потому что левее 1 в нём нет ни одного элемента. На окрестностях основаны определения предела, непрерывности и локальных экстремумов.

1919,52020,52121,52222,523U(x₀)|x − x₀|xx₀
21
0,5
20,6
|x − x₀|
0,4
x₀ − ε
20,5
x₀ + ε
21,5
Точка xx лежит в окрестности, пока ∣x−x0∣<ε|x - x_0| < \varepsilon. Когда ∣x−x0∣=ε|x - x_0| = \varepsilon, точка на конце интервала и окрестности не принадлежит. Меняйте ε\varepsilon: окрестность расширяется и сужается вокруг центра x0x_0.

Допуски в машиностроении и настройку термостата описывают окрестностью: размер или температура могут отклоняться от заданного значения меньше чем на некоторое ε\varepsilon.

Термостат в комнате

Термостат поддерживает температуру в комнате так, что она отклоняется от заданных 21∘C21^\circ\mathrm{C} меньше чем на 0,5∘C0{,}5^\circ\mathrm{C}. Запишите множество допустимых температур как окрестность и проверьте, принадлежат ли ему измеренные значения 20,620{,}6, 21,521{,}5 и 20,4∘C20{,}4^\circ\mathrm{C}. Каким может быть наибольшее ε\varepsilon, если температура должна оставаться между 20∘C20^\circ\mathrm{C} и 21,8∘C21{,}8^\circ\mathrm{C}?

Решение

  1. Условие: ∣T−21∣<0,5|T - 21| < 0{,}5, а это окрестность точки 21 радиуса 0,50{,}5, т. е. интервал (20,5; 21,5)(20{,}5;\ 21{,}5).
  2. ∣20,6−21∣=0,4<0,5|20{,}6 - 21| = 0{,}4 < 0{,}5, поэтому 20,620{,}6 принадлежит окрестности. ∣20,4−21∣=0,6|20{,}4 - 21| = 0{,}6, поэтому 20,420{,}4 не принадлежит.
  3. Для 21,521{,}5 имеем ∣21,5−21∣=0,5|21{,}5 - 21| = 0{,}5, а это не меньше 0,50{,}5: конец интервала окрестности не принадлежит.
  4. Окрестность (21−ε; 21+ε)(21 - \varepsilon;\ 21 + \varepsilon) должна поместиться в (20; 21,8)(20;\ 21{,}8), поэтому 21−ε⩾2021 - \varepsilon \geqslant 20 и 21+ε⩽21,821 + \varepsilon \leqslant 21{,}8, т. е. ε⩽1\varepsilon \leqslant 1 и ε⩽0,8\varepsilon \leqslant 0{,}8.

Ответ: Допустимые температуры образуют окрестность (20,5; 21,5)(20{,}5;\ 21{,}5), из измеренных значений в ней только 20,6∘C20{,}6^\circ\mathrm{C}, а ε\varepsilon может быть не больше 0,8∘C0{,}8^\circ\mathrm{C}.

Задача для тренировки

Запишите окрестность точки −3-3 радиуса 0,250{,}25 в виде интервала и в виде неравенства. Принадлежат ли ей числа −2,8-2{,}8 и −3,3-3{,}3?

Показать решение

(−3,25; −2,75)(-3{,}25;\ -2{,}75), или ∣x+3∣<0,25|x + 3| < 0{,}25. Так как ∣−2,8+3∣=0,2<0,25|-2{,}8 + 3| = 0{,}2 < 0{,}25, число −2,8-2{,}8 принадлежит окрестности, а −3,3-3{,}3 не принадлежит, потому что ∣−3,3+3∣=0,3|-3{,}3 + 3| = 0{,}3.