Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Четырехугольник

Сумма углов четырёхугольника равна 360º . Если aa, bb, cc и dd стороны четырёхугольника, а d1{d_1} и d2{d_2} диагонали четырёхугольника, тогда a2+b2+c2+d2=d12+d22+4m2,{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = d_1^2 + d_2^2 + 4{m^2}, где mm отрезок, соединяющий середины диагоналей четырёхугольника.

cetvorougao

Площадь PP вычисляется по формуле:

P=d1d2sin⁡α2P = \frac{{{d_1}{d_2}\sin \alpha }}{2}P=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d),p=a+b+c+d2P = \sqrt {\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\left( {p - d} \right)} ,{\rm{ }}p = \frac{{a + b + c + d}}{2}

Для четырёхугольника, у которого диагоноли взаимно перпендикулярны, площадь PP вычисляется по формуле:

P=d1d22P = \frac{{{d_1}{d_2}}}{2}.

cetvorougao sa normalnim dijagonalama1

Вписанные и описанные четырёхугольники

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тога, когда сумма его противоположных углов равна 180∘{180^ \circ }: α+γ=β+δ=180∘\alpha + \gamma = \beta + \delta = {180^ \circ } Для вписанного четырёхугольника справедливо:

ac+bd=d1d2.ac + bd = {d_1}{d_2}.

opisani cetvorougao1

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда сумма длин его противоположных сторон равны.

a+c=b+d{a} + {c} = {b} + {d}

upisani cetvorougao

Сумма углов любого четырёхугольника равна 360∘360^\circ, потому что диагональ делит его на два треугольника. Площадь можно вычислить по диагоналям и углу φ\varphi между ними: P=d1d2sin⁡φ2P = \frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}. Если диагонали перпендикулярны, как у ромба, квадрата и дельтоида, то sin⁡φ=1\sin\varphi = 1 и P=d1d22P = \frac{d_1 d_2}{2}.

В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда a+c=b+da + c = b + d; тогда P=(a+c)⋅rP = (a + c) \cdot r. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда α+γ=β+δ=180∘\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ, и для такого вписанного четырёхугольника верна теорема Птолемея ac+bd=d1d2ac + bd = d_1 d_2. Будьте внимательны: формула P=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)P = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)} верна только для вписанного четырёхугольника.

φ = 100,3°d₁d₂ABCDS
Сумма углов
360°
Площадь P
34,5
d₁ · d₂ · sin φ : 2
34,5
Как бы вы ни двигали вершины, площадь, вычисленная по диагоналям, d1d2sin⁡φ2\frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}, равна настоящей площади. Пока четырёхугольник выпуклый, сумма его углов остаётся равной 360∘360^\circ.

Площадь участка в форме четырёхугольника можно вычислить по двум измеренным диагоналям и углу между ними, не измеряя стороны. А тот, кто делает воздушного змея из двух скрещённых реек, по той же формуле знает, сколько нужно бумаги: рейки — перпендикулярные диагонали, поэтому площадь равна d1d22\frac{d_1 d_2}{2}.

Площадь участка

Участок в Сремска-Каменице имеет форму неправильного четырёхугольника. Геодезист измерил его диагонали, 42 м и 30 м, и угол между ними, 70∘70^\circ. Какова площадь участка в квадратных метрах и в сотках?

Решение

  1. Известны обе диагонали и угол между ними, поэтому используем P=d1d2sin⁡φ2P = \frac{d_1 d_2 \sin\varphi}{2}, где d1=42d_1 = 42 м, d2=30d_2 = 30 м и φ=70∘\varphi = 70^\circ.
  2. Половина произведения диагоналей: 42⋅302=630\frac{42 \cdot 30}{2} = 630.
  3. Так как sin⁡70∘≈0,9397\sin 70^\circ \approx 0{,}9397, получаем P≈630⋅0,9397≈592P \approx 630 \cdot 0{,}9397 \approx 592 м².
  4. Одна сотка (ар) равна 100 м², поэтому P≈5,92P \approx 5{,}92 сотки.

Ответ: Площадь участка около 592 м², то есть около 5,92 сотки.

Задача для тренировки

Диагонали четырёхугольника равны d1=10d_1 = 10 см и d2=8d_2 = 8 см и пересекаются под углом 30∘30^\circ. Какова площадь четырёхугольника? Какой она была бы, если бы диагонали были перпендикулярны?

Показать решение

P=10⋅8⋅sin⁡30∘2=40⋅12=20P = \frac{10 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ}{2} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20 см². Если диагонали перпендикулярны, то sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 и P=10⋅82=40P = \frac{10 \cdot 8}{2} = 40 см².