Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Трапеция

Трапеция — это четыреугольник у котрого две стороны паралельны, а две другие стороны не паралельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами.

trapez1

Если aa и bb основания трапеции, hh высота, а mm средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон), тогда:

m=a+b2,P=a+b2h=mhm = \frac{{a + b}}{2},{\rm{ }}P = \frac{{a + b}}{2}h = mh

h=2a−bs(s−a+b)(s−c)(s−d),s=a−b+c+d2h = \frac{2}{{a - b}}\sqrt {s\left( {s - a + b} \right)\left( {s - c} \right)\left( {s - d} \right)} ,{\rm{ }}s = \frac{{a - b + c + d}}{2}

Равнобедренная трапеция — трапеция у которой боковые стороны равны.

jednakokraki trapez

Пусть d=cd=c. Тогда

P=(a−ccos⁡γ)csin⁡γ=(b+ccos⁡γ)csin⁡γP = \left( {a - c\cos \gamma } \right)c\sin \gamma = \left( {b + c\cos \gamma } \right)c\sin \gamma

Трапеция является параллелограммом, если a=ba=b (тогда и c=dc=d) или ромбом, если a=b=c=da=b=c=d.

Прямоугольная трапеция — это трапеция у которой два прямых угла. Тогда

pravougli trapez

из теоремы Пифагора: h2+(a+b)2=c2; h2+b2=d2h^2+(a+b)^2=c^2; \text{ } h^2+b^2=d^2

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон: основания aa и bb; две другие стороны — боковые. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180∘180^\circ. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна m=a+b2m = \frac{a + b}{2}. Площадь P=a+b2⋅h=m⋅hP = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h.

В равнобедренной трапеции (c=dc = d) высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок a−b2\frac{a - b}{2}, поэтому по теореме Пифагора c2=h2+(a−b2)2c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2, а диагональ равна h2+(a+b2)2\sqrt{h^2 + \left(\frac{a + b}{2}\right)^2}. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона и есть высота, а для наклонной стороны c2=h2+(a−b)2c^2 = h^2 + (a - b)^2. Самая частая ошибка — подставить в формулу площади боковую сторону вместо высоты.

m = 3,5hABDC
2 м
Площадь P
7 м²
m · h
7 м²
Боковая сторона c
2,5 м
Боковая сторона d
2,5 м
Средняя линия mm всегда равна среднему арифметическому оснований, а m⋅hm \cdot h даёт площадь. Начальная трапеция — сечение канала из примера: a=5a = 5 м, b=2b = 2 м, h=2h = 2 м.

Поперечное сечение канала, насыпи или выемки вдоль дороги чаще всего имеет форму трапеции, поэтому строители по его площади рассчитывают, сколько грунта нужно вынуть или насыпать.

Оросительный канал

Оросительный канал в Бачке имеет поперечное сечение в форме равнобедренной трапеции: ширина поверху 5 м, по дну 2 м, глубина 2 м. Сколько кубических метров грунта нужно вынуть для участка длиной 100 м и какова длина наклонной стенки канала?

Решение

  1. Основания a=5a = 5 м и b=2b = 2 м, высота h=2h = 2 м, поэтому средняя линия m=5+22=3,5m = \frac{5 + 2}{2} = 3{,}5 м.
  2. Площадь сечения: P=m⋅h=3,5⋅2=7P = m \cdot h = 3{,}5 \cdot 2 = 7 м².
  3. Выемка — призма с основанием PP и длиной 100 м: V=7⋅100=700V = 7 \cdot 100 = 700 м³.
  4. Боковая сторона — гипотенуза треугольника с катетами h=2h = 2 м и a−b2=1,5\frac{a - b}{2} = 1{,}5 м: c=22+1,52=6,25=2,5c = \sqrt{2^2 + 1{,}5^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 м.

Ответ: Нужно вынуть 700 м³ грунта, а наклонная стенка канала имеет длину 2,5 м.

Задача для тренировки

Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 4 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите высоту трапеции и её площадь.

Показать решение

a−b2=3\frac{a - b}{2} = 3 см, поэтому h=52−32=4h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 см. Средняя линия m=10+42=7m = \frac{10 + 4}{2} = 7 см, а P=m⋅h=28P = m \cdot h = 28 см².