Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Многоугольник

Сумма всех углов nn-угольника равна (n−2)180∘\left( {n - 2} \right){180^ \circ }.

Сумма всех внешних углов nn-угольника равна 360∘{360^ \circ }.

Количество диагоналей nn-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: n(n−3)2\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}.

mnogougao

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны или углы одинаковые.

Пусть дан правильный многоугольник у которого: nn — число сторон, φ=360∘n\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} — центральный угол, β=360∘n\beta = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n} — внешний угол, α=180∘−β\alpha = {180^ \circ } - \beta — внутренний угол, aa — длина стороны, RR — радиус описанной окружности и PP — площадь.

pravilan mnogougao

Основные формулы

nnR=a2sin⁡πnR = \frac{a}{{2\sin \frac{\pi }{n}}}r=atgπnr = \frac{a}{{tg\frac{\pi }{n}}}P=nar2P = \frac{{nar}}{2}
 3 a33\frac{a}{3}\sqrt 3 a63\frac{a}{6}\sqrt 3 a243\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt 3
 4 a22\frac{a}{2}\sqrt 2 a2\frac{a}{2} a2{a^2}
 5 a12+510a\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} a14+510a\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} a2425+105\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 }
 6 aa a23\frac{a}{2}\sqrt 3 32a23\frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3
 8 a1+22a\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} a2(1+2)\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right) 2a2(1+2)2{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)
 10 a2(1+5)\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right) a25+25\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } 52a25+25\frac{5}{2}{a^2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }

a=2R2−r2=2Rsin⁡α2=2rtgα2a = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 2R\sin \frac{\alpha }{2} = 2r{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2}

P=nar2=nr2tgα2=nR2sin⁡α2=na2ctgα24P = \frac{{nar}}{2} = n{r^2}{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{n{R^2}\sin \alpha }}{2} = \frac{{n{a^2}{\rm{ctg}}\frac{\alpha }{2}}}{4}

У nn-угольника сумма внутренних углов равна (n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ, потому что диагонали из одной вершины делят его на n−2n - 2 треугольника. Сумма внешних углов всегда равна 360∘360^\circ. Из одной вершины выходят n−3n - 3 диагонали, а всего их n(n−3)2\frac{n(n - 3)}{2}: делим на 2, потому что каждая диагональ посчитана с обоих концов.

У правильного многоугольника все стороны и все углы равны. Его центральный угол φ=360∘n\varphi = \frac{360^\circ}{n}, внутренний угол α=180∘−360∘n\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}, а площадь P=nar2P = \frac{nar}{2}, где rr — радиус вписанной окружности: многоугольник состоит из nn равнобедренных треугольников. Не путайте центральный и внутренний углы: у шестиугольника первый равен 60∘60^\circ, а второй 120∘120^\circ.

r
8
1,2 м
Внутренний угол α
135°
Сумма внутренних углов
1080°
Число диагоналей
20
Площадь P
6,95 м²
С ростом числа сторон внутренний угол приближается к 180∘180^\circ, а многоугольник всё больше похож на круг. Серая пунктирная окружность — описанная, зелёная — вписанная; начальный восьмиугольник имеет размеры пола из примера.

Плитки в форме правильных треугольников, квадратов и шестиугольников укладываются без зазоров, потому что их внутренние углы (60∘60^\circ, 90∘90^\circ и 120∘120^\circ) вокруг общей вершины дают ровно 360∘360^\circ. Столяр по внутреннему углу определяет, под каким углом пилить доски для восьмиугольной беседки.

Пол восьмиугольной беседки

Деревянная беседка во дворе имеет пол в форме правильного восьмиугольника со стороной 1,2 м. Под каким углом сходятся соседние края пола и какова площадь пола?

Решение

  1. При n=8n = 8 центральный угол φ=360∘8=45∘\varphi = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ, поэтому внутренний угол α=180∘−45∘=135∘\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.
  2. Радиус вписанной окружности находим из прямоугольного треугольника с катетом a2=0,6\frac{a}{2} = 0{,}6 м и углом φ2=22,5∘\frac{\varphi}{2} = 22{,}5^\circ при центре: r=a2ctg⁡22,5∘≈0,6⋅2,4142≈1,4485r = \frac{a}{2} \operatorname{ctg} 22{,}5^\circ \approx 0{,}6 \cdot 2{,}4142 \approx 1{,}4485 м.
  3. Пол состоит из 8 равнобедренных треугольников с основанием aa и высотой rr: P=nar2≈8⋅1,2⋅1,44852≈6,95P = \frac{nar}{2} \approx \frac{8 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}4485}{2} \approx 6{,}95 м².

Ответ: Соседние края пола образуют угол 135∘135^\circ, а площадь пола около 6,95 м².

Задача для тренировки

Плитка имеет форму правильного шестиугольника со стороной 10 см. Каковы её внутренний угол и площадь? Почему такие плитки укладываются без зазоров?

Показать решение

α=180∘−360∘6=120∘\alpha = 180^\circ - \frac{360^\circ}{6} = 120^\circ. Шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, поэтому P=6⋅10234=1503≈259,8P = 6 \cdot \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 150\sqrt{3} \approx 259{,}8 см². Вокруг каждой вершины сходятся три плитки: 3⋅120∘=360∘3 \cdot 120^\circ = 360^\circ.