Окружность

Окружностью $k(O,r)$ называется множество точек, расположенных на одинаковом  расстоянии от данной точки $O$, которая называется центром окружности. Расстояние $r, (r>0)$ от любой точки на окружности до центра называется радиус.

Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности $d$, диаметр окружности $\left( {d = 2r} \right).$

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности.

Пусть $r$ радиус, а $d$ диаметр окружности $\left( {d = 2r} \right).$

Длина окружности

$O = 2r\pi = d\pi$.

Длина дуги окружности

$$l=\frac{O}{360^\circ}\alpha=\frac{2r\pi}{360^\circ}\alpha=\frac{r\pi\alpha}{180^\circ}$$

Площадь круга

$P=r^2\pi=\frac{d^2}{4}\pi.$

Углы

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в её центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.
Центральный угол $\alpha$ в два раза больше вписанного угла $\beta$, опирающегося на ту же дугу: $\alpha = 2\beta .$

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Из этого утверждения следует, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенкзы.

Угол $\gamma$ между хордой и касательной в два раза меньше центрального угла $\alpha$, опирающегося на ту же дугу $\alpha = 2\gamma.$

Полезные соотношения

$${A_1}{C_1} \cdot {A_1}{D_1} = {A_1}{B_1} \cdot {A_1}{E_1} = {r^2} - {m^2},$$

$$AB \cdot AE = AC \cdot AD = A{T^2} = {m^2} - {r^2}.$$

Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

$$P_i=\frac{P}{360^\circ}\alpha=\frac{r^2\pi}{360^\circ}\alpha$$

$$\Rightarrow P_i=\frac{rl}{2}$$

Сегмент

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Пусть $l$ длина дуги окружности, $a$ хорда, $\alpha$ центральный угол (в градусах), а $h$ высота сегмента. Тогда

$$a = 2\sqrt {2hr - {h^2}} = 2r\sin \frac{\alpha}{2},$$

$$h = r - \sqrt {{r^2} - \frac{a^2}{4}} = r\left( {1 - \cos \frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{a}{2}tg\frac{\alpha }{4}.$$

Площадь кругового сегмента

$$P = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\frac{{\pi \alpha }}{{180}} - \sin \alpha } \right) = \frac{{lr - a\left( {r - h} \right)}}{2}.$$

Кольцо

Пусть диаметр, большего круга $D = 2R$, а диаметр меньшего $d = 2r$, $p = \frac{{R + r}}{2}$, ширина кольца $\delta = R - r$, $l$ длина большей дуги , а ${l_1}$ длина меньшей дуги кольца.

Площадь кольца

$P = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{\pi }{4}\left( {{D^2} - {d^2}} \right) = 2\pi p\delta$

Площадь части кольца, соответствующей центральному углу $\varphi$

$$P = \frac{{\varphi \pi }}{{360}}\left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \frac{{\varphi \pi }}{{1440}}\left( {{D^2} - {d^2}} \right) = \frac{{\varphi \pi }}{{180}}p\delta = \frac{{l + {l_1}}}{2}\delta$$