Сумма всех углов $n$-угольника равна $\left( {n — 2} \right){180^ \circ }$.
Сумма всех внешних углов $n$-угольника равна ${360^ \circ }$.
Количество диагоналей $n$-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: $\frac{{n\left( {n — 3} \right)}}{2}$.
Правильный многоугольник
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны или углы одинаковые.
Пусть дан правильный многоугольник у которого: $n$ — число сторон, $\varphi = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ — центральный угол, $\beta = \frac{{{{360}^ \circ }}}{n}$ — внешний угол, $\alpha = {180^ \circ } — \beta $ — внутренний угол, $a$ — длина стороны, $R$ — радиус описанной окружности и $P$ — площадь.
Основные формулы
| $n$ | $R = \frac{a}{{2\sin \frac{\pi }{n}}}$ | $r = \frac{a}{{tg\frac{\pi }{n}}}$ | $P = \frac{{nar}}{2}$ |
| 3 | $\frac{a}{3}\sqrt 3 $ | $\frac{a}{6}\sqrt 3 $ | $\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt 3 $ |
| 4 | $\frac{a}{2}\sqrt 2 $ | $\frac{a}{2}$ | ${a^2}$ |
| 5 | $a\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $ | $a\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{{10}}} $ | $\frac{{{a^2}}}{4}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } $ |
| 6 | $a$ | $\frac{a}{2}\sqrt 3 $ | $\frac{3}{2}{a^2}\sqrt 3 $ |
| 8 | $a\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} $ | $\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ | $2{a^2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)$ |
| 10 | $\frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$ | $\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $ | $\frac{5}{2}{a^2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } $ |
$a = 2\sqrt {{R^2} — {r^2}} = 2R\sin \frac{\alpha }{2} = 2r{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2}$
$P = \frac{{nar}}{2} = n{r^2}{\rm{tg}}\frac{\alpha }{2} = \frac{{n{R^2}\sin \alpha }}{2} = \frac{{n{a^2}{\rm{ctg}}\frac{\alpha }{2}}}{4}$
