Скупови
Скуп (мноштво, колекција) и његови елементи (чланови) су основни појмови математике.
Скуп је одређен ако су познати сви његови елементиили особине које они задовољавају.
Скуп $А$ се може задати навођењем његових елемената, односно аналитички:
$A = \left\{ {x,y,z,...} \right\}$
или синтетички
$A = \left\{ {x|P\left( x \right)} \right\}$
чиме се означава скуп свих елемената x који имају особину $P$.
Ако је $А$ скуп, тада $x \in A$ значи
- да је $x$ елемент скупа $А$,
- да $x$ припада скупу $А$,
- да је $x$ у скупу $А$.
Ако $x$ не припада скупу $А$ пише се $x \notin A$.
Подскуп (Инклузија)
Скуп $А$ је подскуп скупа $B$, ако је сваки елемент скупа $А$ и елемент скупа $B$.
Да је $А$ подскуп скупа $B$, означава се са $A \subset B$ или, $B \supset A$, а $ \supset $ односно $ \subset $ је знак иклузије.
Логичким симболима инклузија се дефинише:
$A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x} \right)\left( {x \in A \Rightarrow x \in B} \right)$
Једнакост скупова
Скупови $А$ и $B$ су једнаки ако и само ако је $A \subset B$ и $B \supset A$. Тада се пише $A = B$. Ако скупови $А$ и $B$ нису једнаки, пише се $A \ne B$.
Прави подскуп
Ако је $A \subset B$ и $A \ne B$, онда је $А$ прави подскуп скупа $B$.
Унија скупова
Унија скупова $А$ и $B$ је скуп свих елемената који се налазе бар у једном од скупова $А$ и $B$.
Унија скупова $А$ и $B$ означава се са $A \cup B$, помоћу логичких симбола се дефинише:
$A \cup B = \left\{ {x|x \in A \vee x \in B} \right\}$
Пресек скупова
Пресек скупова $А$ и $B$ је скуп свих елемената који су и у скупу $А$ и у скупу $B$.
Пресек скупова $А$ и $B$ означава се са $A \cap B$, а помоћу логичких симбола се дефинише:
$A \cap B = \left\{ {x|x \in A \wedge x \in B} \right\}$
Разлика два скупа
Разлика два скупа $А$ и $B$ је скуп свих елемената скупа $А$, који припадају скупу $B$. Разлика скупова $А$ и $B$ означава се са $A\backslash B$, а помоћу логичких симбола се дефинише:
$A\backslash B = \left\{ {x|x \in A \wedge x \notin B} \right\}$
Симетрична разлика два скупа
Симетрична разлика скупова $А$ и $B$ је унија скупова $A\backslash B$ и $B\backslash A$ и означава се са $A\Delta B$
$A\Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$
Венови дијаграми: а) унија, б) пресек, в) разлика, г) симетрична разлика скупова.
Комплемент скупа
Ако је $A \subset I$, скуп ${C_I}A = I$ $\ А$ је комплемент скупа $А$ у односу на скуп $I$.
Комплемент скупа $А$ у односу на скуп $I$.
Празан скуп
Празан скуп је скуп без елемената. Обележава се са $\emptyset $, а помоћу логичких симбола се дефинише:
$A = \emptyset \Leftrightarrow (\forall x) \notin A$
Дисјунктни скупови
Два су скупа дисјунктна ако немају заједничких елемената, тј. скупови $А$ и $B$ су дисјунктни ако је $A \cap B = \emptyset $
Партиција скупа
Скуп непразних скупова $\left\{ {{A_1},{A_2}} \right.,...,\left. {{A_n}} \right\}$ скупа $А$ чини партицију скупа $А$ ако задовољава следеће услове:
- $\left( {{\forall _i}} \right)\left( {{\forall _j}} \right)\left( {i \ne j \Rightarrow {A_i} \cap {A_j} = \emptyset } \right)$ , i=1,...,n; j=1,....n
- ${A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n} = A$
Партитивни скуп
Партитивни скуп $P(А)$ скупа $А$ је скуп свих његових подскупова, подразумевајући и сам скуп $А$, као и празан скуп.
$P\left( A \right) = \left\{ {X\backslash X \subset A} \right\}$
Важније особине операције са скуповима
- Комутативност пресека, уније и симетричне разлике
$A \cap B = B \cap A,{\text{ }}A \cup B = B \cup A,{\text{ }}A\Delta B = B\Delta A$ - Асоцијативност пресека, уније симетричне разлике
$\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right)$, $\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right)$ и $\left( {A\Delta B} \right)\Delta C = A\Delta \left( {B\Delta C} \right)$ - Идемпотентност пресека и уније
$A \cap A = A,{\text{ }}A \cup A = A$. - Дистрибутивност пресека према унији и обрнуто
$A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)$, ${\text{A}} \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)$ - Апсорптивност пресека према унији и обрнуто
$A \cap \left( {A \cup B} \right) = A,{\text{ }}A \cup \left( {A \cap B} \right) = A$ - Инволутивност комплемената
${C_I}\left( {{C_I}A} \right) = A$ - Транзитивност инклузије
$\left( {C \subset B} \right) \wedge \left( {B \subset A} \right) \Rightarrow C \subset A$ - Дистрибутивност пресека према пресеку и уније према унији
$\left( {A \cap B} \right) \cap C = \left( {A \cap C} \right) \cap \left( {B \cap C} \right)$, $\left( {A \cup B} \right) \cup C = \left( {A \cup C} \right) \cup \left( {B \cup C} \right)$ - За сваки скуп $A \subset I$ и празан скуп $\emptyset $
$\emptyset \subset A \subset I$,
$A \cap \emptyset = \emptyset \cap A = \emptyset $,
$A \cup \emptyset = \emptyset \cup A = A$,
$A \cap I = I \cap A = A$,
$A \cup I = I \cup A = I$.
Декартов производ
Уређен пар, чија је прва компонента $a$, а друга $b$, обележава се $(a, b)$.
Уређени парови $(a, b)$ и $(c, d)$ једнаки су ако и само ако је $a=c$ и $b=d$.
Уређена n-торка се означава са $\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)$, а једнакост уређених n-торки елемената дефинисана је са:
$\left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right) = \left( {{b_1},{b_2},...,{b_n}} \right) \Leftrightarrow {a_1} = {b_1} \wedge {a_2} = {b_2} \wedge ... \wedge {a_n} = {b_n}$.
Декартов производ скупа А и B је скуп
$A \times B = \left\{ {\left( {x,y} \right)|x \in A \wedge y \in B} \right\}$
Декартов производ $n$ скупа скупова $А_1, А_2,.....,А_n$ је
${A_1} \times {A_2} \times ..... \times {A_n} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)|{x_1} \in {A_1} \wedge {x_2} \in {A_2} \wedge ... \wedge {x_n} \in {A_n}} \right\}$
Декартови производи $A \times A,A \times A \times A$,... обележавају се са ${A^2}, {A^3}$,...