Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек ${F_1}$ и ${F_2}$  есть величина постоянная $2a$, бо́льшая расстояния $2c$ между этими заданными точками. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Точки ${F_1}$ и ${F_2}$ называются фокусами эллипса, расстояние между ними $2c{\text{ }} = {\text{ }}{F_1}{F_2}$ — фокусным расстоянием, середина $O$  отрезка ${F_1}{F_2}$ — центром эллипса, число $2a$ — длиной большой оси эллипса (соответственно, число $a$ — большой полуосью эллипса). Отрезки ${F_1}M$  и ${F_2}M$, соединяющие произвольную точку $M$ эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки $M$. Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение $e = \frac{c}{a} = \sqrt {1 — \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}}  $ называется эксцентриситетом эллипса. Из определения $\left( {2a > 2c} \right)$ следует, что $0 \leqslant e < 1$. При $e = 0$, т.е. при $c = 0$, фокусы ${F_1}$ и ${F_2}$, а также центр $O$ совпадают, и эллипс является окружностью радиуса $a$.

Уравнение эллипса

$$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$$

где $b^2=a^2-c^2.$

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии  $\frac{{{a^2}}}{c}$ от нее. При $c = 0$, когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Уравнение директрисы: $x = \frac{a}{e},{\text{ }}x =  — \frac{a}{e}$.

Уравнение эллипса в полярной системе координат  имеет вид:\[r = \frac{\rho }{{1 — e \cdot \cos \varphi }}\]где $\rho = \frac{{{b^2}}}{a}$ — фокальный параметр эллипса.

Полярные радиусы ${r_1} = a + ex$, ${r_2} = a — ex$, $r_1+r_2=2a$.

Касательная в точке $M\left( {{x_0},{y_0}} \right)$: $\frac{{{x_0}x}}{{{a^2}}} + \frac{{{y_0}y}}{{{b^2}}} = 1$.

Прямая $y = kx + n$ будет касательной к эллипсу, если выполняенся условие: ${a^2}{k^2} + {b^2} = {n^2}$