Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Парабола

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки FF (фокуса параболы) равно расстоянию до заданной прямой dd (директрисы параболы).

Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы  и обозначается через pp. Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

y2=2px{y^2} = 2px.

Эксцентриситет параболы:

e=1e = 1.

Координаты фокуса:

(p2, 0)\left( {\frac{p}{2},{\text{ }}0} \right).

Уравнение директрисы параболы:

x=−p2x = - \frac{p}{2}.

Фокусный параметр: pp.

Фокусный радиус:

r=x+p2r = x + \frac{p}{2}.

Уравнение касательной в точке M(x0,y0)M\left( {{x_0},{y_0}} \right): 

y0y=p(x−x0){y_0}y = p\left( {x - {x_0}} \right)

Прямая y=kx+ny = kx + n — касательная к параболе, если 2kn=p.2kn = p.

parabola

Парабола — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки, фокуса FF, и от одной прямой, директрисы dd. Если ось параболы — ось xx, а вершина в начале координат, каноническое уравнение имеет вид y2=2pxy^2 = 2px. Тогда фокус — F(p2,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right), а директриса — x=−p2x = -\frac{p}{2}.

Параметр pp — расстояние от фокуса до директрисы: чем он больше, тем шире раскрыта парабола. Расстояние от точки (x,y)(x, y) параболы до фокуса равно r=x+p2r = x + \frac{p}{2}, а эксцентриситет всегда e=1e = 1. Касательная в точке (x0,y0)(x_0, y_0) имеет уравнение y0y=p(x+x0)y_0y = p(x + x_0), а прямая y=kx+ny = kx + n касается параболы, когда p=2knp = 2kn. Частая ошибка — искать фокус в точке (p,0)(p, 0): он вдвое ближе к вершине, в точке (p2,0)\left(\frac{p}{2}, 0\right).

−3−113−3−1130xydFM
5 дм
0,9 дм
|MF|
3,4 дм
Расстояние до директрисы
3,4 дм
От вершины до фокуса
2,5 дм
Расстояние от точки MM до фокуса FF всегда равно её расстоянию до директрисы dd. Сначала на рисунке сечение антенны из примера в дециметрах: p=5p = 5, край в (0,9; 3)(0{,}9;\ 3), фокус в 2,52{,}5 дм от вершины.

Спутниковые антенны, автомобильные фары и солнечные концентраторы имеют параболическое сечение: лучи, параллельные оси, после отражения проходят через фокус, а свет лампы в фокусе выходит параллельным пучком.

Приёмник спутниковой антенны

Спутниковая антенна на крыше в Крагуеваце имеет диаметр 60 см и глубину 9 см, а её сечение через ось — парабола. Приёмник должен находиться в фокусе, где собираются все отражённые лучи. На каком расстоянии от вершины (дна) антенны он должен быть?

Решение

  1. Поместим вершину в начало координат, а ось xx направим по оси антенны. Тогда край антенны — в точке (9,30)(9, 30), потому что радиус её раскрыва 30 см.
  2. Подставим эту точку в y2=2pxy^2 = 2px: 302=2p⋅930^2 = 2p \cdot 9, т. е. 900=18p900 = 18p, поэтому p=50p = 50 см.
  3. Фокус находится в точке F(p2,0)=F(25,0)F\left(\frac{p}{2}, 0\right) = F(25, 0).
  4. Проверка: расстояние от края до фокуса r=9+25=34r = 9 + 25 = 34 см, и напрямую: (25−9)2+302=1156=34\sqrt{(25 - 9)^2 + 30^2} = \sqrt{1156} = 34 см.

Ответ: Приёмник нужно установить на оси антенны в 25 см от её вершины.

Задача для тренировки

Рефлектор фары имеет параболическое сечение, диаметр 16 см и глубину 4 см. На каком расстоянии от вершины рефлектора нужно поставить лампу, чтобы свет выходил параллельным пучком?

Показать решение

Край — в точке (4,8)(4, 8), поэтому 82=2p⋅48^2 = 2p \cdot 4 даёт p=8p = 8 см. Фокус в (p2,0)=(4,0)\left(\frac{p}{2}, 0\right) = (4, 0): лампа в 4 см от вершины, ровно в плоскости края рефлектора.