Viber Закажи час

+381 62 16 43 066

Площадь треугольника

Площадь ∣P∣\left| P \right| треугольника с вершинами M1(x1,y1){M_1}\left( {{x_1},{y_1}} \right), M2(x2y2){M_2}\left( {{x_2}{y_2}} \right) и M3(x3,y3){M_3}\left( {{x_3},{y_3}} \right) вычисляется формулой:

P=12∣x1y11x2y21x3y31∣=12∣x1−x3y1−y3x2−x3y2−y3∣P = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right| = \frac{1}{2}\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc} {{x_1} - {x_3}}&{{y_1} - {y_3}}\\ {{x_2} - {x_3}}&{{y_2} - {y_3}} \end{array}} \right| =12(x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2))= \frac{1}{2}\left( {{x_1}\left( {{y_2} - {y_3}} \right) + {x_2}\left( {{y_3} - {y_1}} \right) + {x_3}\left( {{y_1} - {y_2}} \right)} \right).

povrsina trougla

Площадь треугольника с вершинами M1(x1,y1)M_1(x_1, y_1), M2(x2,y2)M_2(x_2, y_2) и M3(x3,y3)M_3(x_3, y_3) вычисляется прямо по координатам, без построения высоты: P=12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|. Выражение под знаком модуля — раскрытый определитель третьего порядка со строками xix_i, yiy_i, 11.

Знак определителя зависит от порядка вершин: он положителен, если обходить их против часовой стрелки, и отрицателен при обходе по часовой стрелке. Поэтому берут модуль. Частые ошибки — забыть модуль или множитель 12\frac{1}{2}. Если определитель равен нулю, точки лежат на одной прямой и треугольника нет. Если разбить многоугольник на треугольники, тот же приём даёт и его площадь.

1234567812345678xyABC
Определитель
33
Площадь P
16,5
Перетащите одну вершину через противоположную сторону: определитель меняет знак, а площадь остаётся положительной. Сначала на рисунке участок из примера, где единица длины — 10 м, поэтому площадь равна числу аров.

Геодезисты вычисляют площадь участка по координатам его вершин, измеренным приёмником GPS, разбивая участок на треугольники. Программы компьютерной графики по знаку того же определителя определяют, как ориентирован треугольник на экране.

Треугольный участок

Геодезист в местной системе координат измерил вершины треугольного участка под Чачаком, в метрах: A(10,20)A(10, 20), B(70,30)B(70, 30) и C(40,80)C(40, 80). Какова площадь участка в квадратных метрах и в арах (11 ар =100= 100 м²)?

Решение

  1. Подставим координаты в формулу: 10⋅(30−80)+70⋅(80−20)+40⋅(20−30)10 \cdot (30 - 80) + 70 \cdot (80 - 20) + 40 \cdot (20 - 30).
  2. Слагаемые равны −500-500, 42004200 и −400-400, поэтому определитель равен 33003300.
  3. Площадь: P=12⋅∣3300∣=1650P = \frac{1}{2} \cdot |3300| = 1650 м².
  4. В арах: 1650:100=16,51650 : 100 = 16{,}5 ара.

Ответ: Площадь участка 1650 м², т. е. 16,5 ара (16,5 сотки).

Задача для тренировки

Найдите площадь треугольника с вершинами A(−2,1)A(-2, 1), B(4,−1)B(4, -1) и C(3,5)C(3, 5).

Показать решение

P=12∣−2⋅(−1−5)+4⋅(5−1)+3⋅(1−(−1))∣=12∣12+16+6∣=17P = \frac{1}{2}|-2 \cdot (-1 - 5) + 4 \cdot (5 - 1) + 3 \cdot (1 - (-1))| = \frac{1}{2}|12 + 16 + 6| = 17.